Considere a sequência (\sqrt[n]{a}), para a>0. Mostre que:
a) é decrescente se a>1 e crescente caso contrário;
b) é limitada e portanto convergente;
c) o limite é um.

Passo 1

O enunciado define a sequência \bigl(x_n\bigr) por
x_n = \sqrt[n]{a},\quad a>0.
Queremos mostrar (a) monotonicidade em função de a, (b) que é limitada e portanto convergente, e (c) que \lim_{n\to\infty}x_n=1. Para isso vamos usar o teste da razão para monotonicidade, propriedades de limites e a função logaritmo para achar o limite.

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{a^{\frac{1}{\,n+1\,}}}{a^{\frac{1}{n}}} = a^{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}} = a^{-\frac{1}{n(n+1)}}.
Note que -\frac{1}{n(n+1)}<0 para todo n.

Passo 3

Da expressão acima segue:
  • Se a>1, então a^{-\frac{1}{n(n+1)}}<1, logo \tfrac{x_{n+1}}{x_n}<1 e a sequência é decrescente.
  • Se 0<a<1, então a^{-\frac{1}{n(n+1)}}>1, logo \tfrac{x_{n+1}}{x_n}>1 e a sequência é crescente.
  • Se a=1, temos x_n=1 para todo n, ou seja, é constante.

Passo 4

Verifiquemos limites para garantia de boundedness:
  • No caso a>1, como a sequência é decrescente e x_n>1 para todo n, ela é limitada inferiormente por 1.
  • No caso 0<a<1, como é crescente e x_n<1, ela é limitada superiormente por 1.
  • Em a=1, é constante igual a 1, trivialmente limitada.

Passo 5

Uma sequência monotônica e limitada é convergente. Portanto, em qualquer caso x_n converge para algum limite L.

Passo 6

Para achar L, usemos o logaritmo natural:
y_n = \ln(x_n) = \ln\bigl(a^{\frac{1}{n}}\bigr) = \frac{\ln(a)}{n}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(a)}{n}=0, temos \lim_{n\to\infty}y_n=0. Pela continuidade de \exp,
\lim_{n\to\infty}x_n = \lim_{n\to\infty}e^{y_n} = e^0 = 1.

Resposta

a) \bigl(\sqrt[n]{a}\bigr) é decrescente se a>1 e crescente se 0<a<1 (caso a=1 é constante).
b) Em todos os casos é limitada (por 1) e, por ser monotônica, é convergente.
c) \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1.

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