Considere a sequência
, para
. Mostre que:
a) é decrescente se
e crescente caso contrário;
b) é limitada e portanto convergente;
c) o limite é um.
a) é decrescente se
b) é limitada e portanto convergente;
c) o limite é um.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
Queremos mostrar (a) monotonicidade em função de
, (b) que é limitada e portanto convergente, e (c) que
. Para isso vamos usar o teste da razão para monotonicidade, propriedades de limites e a função logaritmo para achar o limite.
Passo 2
Calculemos a razão entre termos consecutivos:
Note que
para todo
.
Passo 3
Da expressão acima segue:
- Se
, então , logo e a sequência é decrescente. - Se
, então , logo e a sequência é crescente. - Se
, temos para todo , ou seja, é constante.
Passo 4
Verifiquemos limites para garantia de boundedness:
- No caso
, como a sequência é decrescente e para todo , ela é limitada inferiormente por . - No caso
, como é crescente e , ela é limitada superiormente por . - Em
, é constante igual a , trivialmente limitada.
Passo 5
Uma sequência monotônica e limitada é convergente. Portanto, em qualquer caso
converge para algum limite
.
Passo 6
Para achar
, usemos o logaritmo natural:
Como
, temos
. Pela continuidade de
,
Resposta
a)
é decrescente se
e crescente se
(caso
é constante).
b) Em todos os casos é limitada (por ) e, por ser monotônica, é convergente.
c) .
b) Em todos os casos é limitada (por
c)