Verifique se a série
converge e calcule seu valor exato.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
e, se ela convergir, calcular seu valor exato.
O conteúdo principal que vamos usar é o teste da -série para convergência e, em seguida, um método clássico (série de Fourier) para obter a soma exata.
O conteúdo principal que vamos usar é o teste da
Passo 2
Aplicamos o teste da
-série: uma série da forma
converge se, e somente se,
. Aqui temos
, que satisfaz
.
Logo,
Logo,
converge.
Passo 3
Para encontrar o valor exato, considere a função
periódica de período
e ímpar estendida como par em
. A série de Fourier dessa função, por simetria, só tem termos em cosseno:
Calcula-se
e
Fazendo integração por partes duas vezes e usando
, chega-se a
Portanto a expansão completa é
Passo 4
Basta agora avaliar essa identidade em
. O lado esquerdo dá
, e
, então
Isolando a soma,
logo
Resposta
A série converge (pois é uma
-série com
) e