Verifique se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} converge e calcule seu valor exato.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
e, se ela convergir, calcular seu valor exato.
O conteúdo principal que vamos usar é o teste da p-série para convergência e, em seguida, um método clássico (série de Fourier) para obter a soma exata.

Passo 2

Aplicamos o teste da p-série: uma série da forma
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=2, que satisfaz 2>1.
Logo,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge.

Passo 3

Para encontrar o valor exato, considere a função f(x)=x^2 periódica de período 2\pi e ímpar estendida como par em [-\,\pi,\pi]. A série de Fourier dessa função, por simetria, só tem termos em cosseno:
x^2 = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(nx).
Calcula-se
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\,dx =\frac{2}{\pi}\,\frac{\pi^3}{3} =\frac{2\pi^2}{3}
e
a_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes duas vezes e usando \cos(n\pi)=(-1)^n, chega-se a
a_{n}=\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}}.
Portanto a expansão completa é
x^2=\frac{\pi^2}{3} +4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos(nx).

Passo 4

Basta agora avaliar essa identidade em x=\pi. O lado esquerdo dá \pi^2, e \cos(n\pi)=(-1)^n, então
\pi^2 =\frac{\pi^2}{3} +4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cdot(-1)^{n} =\frac{\pi^2}{3} +4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Isolando a soma,
4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} =\pi^2-\frac{\pi^2}{3} =\frac{2\pi^2}{3},
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\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} =\frac{2\pi^2}{3}\cdot\frac{1}{4} =\frac{\pi^2}{6}.

Resposta

A série converge (pois é uma p-série com p=2>1) e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^2}{6}.

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