Determine se converge ou diverge cada uma das séries abaixo:
\sum \frac{1}{n^{n}}\'

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{n}}
O conteúdo principal é teste de convergência de séries numéricas, e a ideia é usar o teste da raiz (também chamado de teste de Cauchy) porque cada termo aparece elevado à potência n.

Passo 2

No teste da raiz, calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n^{n}}}
Dentro da raiz temos
\sqrt[n]{\frac{1}{n^{n}}} =\frac{1}{\sqrt[n]{n^{n}}} =\frac{1}{n}\,.
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L = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0.
Como L<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{n}} converge.

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