Considere uma nanopartícula esférica isolante com raio R, que está suspensa no vácuo depois de perder 2025 elétrons ao interagir com fótons de raios-X.
Sabendo que a carga líquida da nanopartícula está distribuída de forma não uniforme de acordo com:
rho(r)=rho0(1-rR), para 0 <= r <= R
Por gentileza, determine:
O módulo do campo elétrico fora da nanopartícula (isto é, r>R ). Indique a orientação!

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma nanopartícula esférica isolante de raio rho(r)=rho0l(1-rRr), 0<= r<= R que, ao perder 2025 elétrons, ficou com carga positiva líquida. A densidade de carga dentro dessa esfera não é constante, e sim
O que pedem é o módulo (e orientação) do campo elétrico para .
Matéria: eletrostática, Lei de Gauss e cálculo de carga total via integração. Vamos usar:
  1. Integrar sobre o volume pra achar .
  2. Relacionar com os 2025 elétrons perdidos.
  3. Aplicar Lei de Gauss pra achar fora da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a carga total Q=integral0^Rrho(r),dV =integral0^Rrho0l(1-tfracrRr),4pi r^2,dr dentro da esfera integrando Q=4pirho0integral0^Rl(r^2-r^3Rr),dr =4pirho0l[r^33-r^44Rr]0^R no volume esférico.
Em coordenadas esféricas, o volume é R^33-R^44R =R^33-R^34 =R^3l(tfrac13-tfrac14r) =R^3cdot112 . Então
Q=4pirho0,R^312 =pi,rho0R^33
Separamos a integral:
Calculando em :
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Passo 3

Sabemos que a esfera perdeu 2025 elétrons, ou seja, a carga total ficou
Q=+2025,e, e=1,6times10^-19,C
Então
pi,rho0R^33=2025,e Longrightarrow rho0=3,(2025,e)pi,R^3
Esse só confirma que a carga total bate com a perda de elétrons, mas pro campo fora da esfera não precisamos do valor de explicitamente, pois já sabemos .

Passo 4

Para oint Ecdot dA=E(r),4pi r^2=Qvarepsilon0 Longrightarrow E(r)=14pivarepsilon0,Qr^2 , podemos usar a Lei de Gauss: simetria esférica, então
Como é positivo, o campo aponta para fora (sentido radial externo).

Resposta

boxed% E(r)=14pivarepsilon0;2025,er^2 (direção: radial para fora, para (r>R)) çã

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