Considere uma nanopartícula esférica isolante com raio
, que está suspensa no vácuo depois de perder 2025 elétrons ao interagir com fótons de raios-X.
Sabendo que a carga líquida da nanopartícula está distribuída de forma não uniforme de acordo com:
Por gentileza, determine:
O módulo do campo elétrico fora da nanopartícula (isto é,
). Indique a orientação!
Sabendo que a carga líquida da nanopartícula está distribuída de forma não uniforme de acordo com:
O módulo do campo elétrico fora da nanopartícula (isto é,
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos uma nanopartícula esférica isolante de raio
que, ao perder 2025 elétrons, ficou com carga positiva líquida. A densidade de carga dentro dessa esfera não é constante, e sim
O que pedem é o módulo (e orientação) do campo elétrico para
.
Matéria: eletrostática, Lei de Gauss e cálculo de carga total via integração. Vamos usar:
Matéria: eletrostática, Lei de Gauss e cálculo de carga total via integração. Vamos usar:
- Integrar
sobre o volume pra achar . - Relacionar
com os 2025 elétrons perdidos. - Aplicar Lei de Gauss pra achar
fora da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a carga total
dentro da esfera integrando
no volume esférico.
Em coordenadas esféricas, o volume é . Então
Em coordenadas esféricas, o volume é
Separamos a integral:
Calculando em
:
Logo
Passo 3
Sabemos que a esfera perdeu 2025 elétrons, ou seja, a carga total ficou
Então
Esse
só confirma que a carga total bate com a perda de elétrons, mas pro campo fora da esfera não precisamos do valor de
explicitamente, pois já sabemos
.
Passo 4
Para
, podemos usar a Lei de Gauss: simetria esférica, então
Como
é positivo, o campo aponta para fora (sentido radial externo).