Encontre o potencial fora de uma esfera condutora de raio a, carregada com carga Q colocada em um campo originalmente uniforme, a saber
E0=E0 z

Passo 1

Beleza, então a ideia é: temos uma esfera condutora de raio , com carga total , mergulhada num campo elétrico uniforme . Precisamos achar o potencial eletrostático em toda a região externa à esfera ( ).
Conteúdo da matéria: equação de Laplace em coordenadas esféricas, desenvolvimento em polinômios de Legendre e condição de contorno de equipotencial (a superfície do condutor é um “fazedor de linhas” de potencial constante).

Passo 2

Primeiro, pela superposição, o potencial total é soma de dois pedaços:
  1. o potencial devido à carga Vrm ext(r,theta) ;=; -E0,z ;=; -E0,rcostheta (que sozinho seria ),
  2. o potencial que a esfera sente por causa do campo externo .
Sabemos que um campo uniforme tem potencial (antes de colocar a esfera) dado por
Mas quando a esfera está lá, ela “deforma” esse campo, gerando um termo extra que decai como .

Passo 3

Vamos montar a forma geral do potencial externo usando polinômios de Legendre (só os termos V(r,theta);=;A0 ;+;B0r ;+;l(A1,r + B1,r^-2r)costheta e A1 = -E0 aparecem porque temos carga total e campo dipolar):
A1,a + B1,a^-2 = 0 Longrightarrow -E0,a + B1,a^-2 = 0 ;Longrightarrow; B1 = E0,a^3
  • O termo B0 = 14pivarepsilon0,Q é constante (potencial “de refer�ncia”).
  • é o potencial monopolar, ligadíssimo a .
  • corresponde ao campo externo .
  • é o dipolo induzido pela presença da esfera.
Como o campo externo original era , já identificamos
Como a esfera é condutora e está em equilíbrio, deve ser constante (digamos , mas o valor numérico não importa aqui). Isso implica que o coeficiente na frente de em deve ser zero:
Já o termo monopolar vem direto de , ou seja
Não precisamos fixar se a gente só quer a forma espacial de .

Passo 4

Substituindo tudo de volta, o potencial para V(r,theta) =;A0 ;+;14pivarepsilon0,Qr ;+;l(-E0,r + E0,a^3r^2r)costheta fica
Podemos escolher como referência se quisermos, porque só importa diferença de potencial.

Resposta

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