Encontre o potencial fora de uma esfera condutora de raio
, carregada com carga
colocada em um campo originalmente uniforme, a saber
Passo 1
Beleza, então a ideia é: temos uma esfera condutora de raio
, com carga total
, mergulhada num campo elétrico uniforme
. Precisamos achar o potencial eletrostático
em toda a região externa à esfera (
).
Conteúdo da matéria: equação de Laplace em coordenadas esféricas, desenvolvimento em polinômios de Legendre e condição de contorno de equipotencial (a superfície do condutor é um “fazedor de linhas” de potencial constante).
Conteúdo da matéria: equação de Laplace em coordenadas esféricas, desenvolvimento em polinômios de Legendre e condição de contorno de equipotencial (a superfície do condutor é um “fazedor de linhas” de potencial constante).
Passo 2
Primeiro, pela superposição, o potencial total é soma de dois pedaços:
- o potencial devido à carga
(que sozinho seria ), - o potencial que a esfera sente por causa do campo externo
.
Sabemos que um campo uniforme
tem potencial (antes de colocar a esfera) dado por
Mas quando a esfera está lá, ela “deforma” esse campo, gerando um termo extra que decai como
.
Passo 3
Vamos montar a forma geral do potencial externo usando polinômios de Legendre (só os termos
e
aparecem porque temos carga total e campo dipolar):
- O termo
é constante (potencial “de refer�ncia”). -
é o potencial monopolar, ligadíssimo a . -
corresponde ao campo externo . -
é o dipolo induzido pela presença da esfera.
Como o campo externo original era
, já identificamos
Como a esfera é condutora e está em equilíbrio,
deve ser constante (digamos
, mas o valor numérico não importa aqui). Isso implica que o coeficiente na frente de
em
deve ser zero:
Já o termo monopolar
vem direto de
, ou seja
Não precisamos fixar
se a gente só quer a forma espacial de
.
Passo 4
Substituindo tudo de volta, o potencial para
fica
Podemos escolher
como referência se quisermos, porque só importa diferença de potencial.