Considere novamente o contexto da Questão 11 da Seção 3, onde investigamos a probabilidade de uma mineradora descobrir ouro em uma região com probabilidade p=1 / 100.
Suponha agora, porém, que não temos mais um número fixo n de operações de prospecção pré-definidos pela mineradora, mas que ao invés disso estejamos interessados na probabilidade de que a mineradora eventualmente ^2 encontre um depósito de ouro. O número X de tentativas/operações de prospecção a serem realizados pela mineradora então segue uma distribuição Geometrica(1/100).
a. Calcule E(X).
b. Calcule var (X).
c. Calcule P(X >= 1) e P(X=10). Compare seus resultados com as probabilidades correspondentes calculadas na Questão 11 da Seção 3.
d. Calcule P(X <= 100). Compare esse resultado com a probabilidade correspondente calculada na Questão 11 da Seção 3.

Passo 1

O enunciado define X como o número de tentativas até o primeiro sucesso em ensaios independentes com probabilidade de sucesso p=1/100. Logo, XsimGeom(p) no sentido de contagem de tentativas até o sucesso. Precisamos das fórmulas de esperança e variância de uma Geométrica, da sua função massa
P(X=k)=(1-p)^,k-1p,
e das expressões para P(X>= k) e P(X<= k).

Passo 2

A esperança de X é
E(X)=1p
Como p=1/100,
E(X)=100

Passo 3

A variância de X é
Var(X)=1-pp^2
Com p=1/100 e 1-p=99/100,
Var(X) =99/100(1/100)^2 = 99100times10,000 =9,900

Passo 4

Da função massa segue
P(X>=1) =sumk=1^infty(1-p)^k-1p =1
pois X>=1 sempre. E
P(X=10) =(1-p)^9p =(0,99)^9times0,01 approx0,009135
Na Questão 11 com n=100 fixo, a probabilidade de pelo menos uma descoberta (Binomial) foi
1-(0,99)^100approx0,634,
menor que 1, e a probabilidade de exatamente 10 descobertas em Bin(100,0,01) é
binom10010(0,01)^10(0,99)^90 approx2,63times10^-13,
muito menor que 0,009135.

Passo 5

Para a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer até a 100ª tentativa,
P(X<=100) =1-(1-p)^100 =1-(0,99)^100 approx0,634
Isso coincide exatamente com a probabilidade de obter pelo menos uma descoberta em 100 prospecções na distribuição Binomial da Questão 11.

Resposta

a. E(X)=100
b. Var(X)=9,900
c. P(X>=1)=1,;P(X=10)approx0,009135 No cenário Binomial ( n=100) obteve-se 1-(0,99)^100approx0,634 e binom10010(0,01)^10(0,99)^90approx2,63times10^-13
d. P(X<=100)approx0,634, igual ao caso Binomial.

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