Questão 16. Suponha que X sim Exp(lambda). Mostre que
P(X>t+x)P(X>x)=P(X>t), forall t, x >= 0
Essa propriedade nos diz que a distribuição exponencial não tem memória. Por exemplo, se X for a vida de um componente eletrônico, a relação acima diz que, se o componente durou até o instante x, a probabilidade de ele não falhar após o intervalo t+x é a mesma de não falhar após o instante t. Nesse sentido, X “esquece” a sua idade, e a eventual falha do componente não resulta de uma deterioração gradual e sim de alguma falha repentina.

Passo 1

O enunciado diz que X tem distribuição exponencial com parâmetro lambda, ou seja, XsimExp(lambda), e pede para mostrar que
P(X>t+x)P(X>x)=P(X>t), forall t,x>= 0
O que vamos usar é a forma da função sobrevivência da exponencial.

Passo 2

Para uma variável XsimExp(lambda), a função sobrevivência (ou probabilidade de não falhar até o tempo u) é
S(u)=P(X>u)=e^-lambda,u

Passo 3

Logo,
P(X>t+x)=e^-lambda,(t+x) =e^-lambda t,e^-lambda x

Passo 4

Agora basta formar a razão pedida:
P(X>t+x)P(X>x) =e^-lambda t,e^-lambda xe^-lambda x =e^-lambda t

Passo 5

Mas e^-lambda t=P(X>t). Portanto
P(X>t+x)P(X>x)=P(X>t),
o que é exatamente a propriedade de falta de memória da exponencial.

Resposta

P(X>t+x)P(X>x)=P(X>t), forall t,x>=0

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