Considere novamente o contexto da Questão 7., em que uma moeda é lançada
vezes. Suponha agora que, ao invés de
lançamentos, façamos um número qualquer
de lançamentos. Defina
cara no
lançamento
,
cara no
lançamento]
[cara no
-ésimo lançamento]. Considerando novamente que cada elemento do espaço amostral têm probabilidade igual, defina
e calcule
(Dica: utilize a independência entre os
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre lançar uma moeda $ n $ vezes e calcular a probabilidade de sair “cara” em todos os lançamentos. O conteúdo aqui é de Probabilidade, mais especificamente sobre eventos independentes. Para resolver, vamos usar a ideia de que cada lançamento é independente e multiplicar as probabilidades individuais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa $ \mathbb{P}\left(\bigcap_{k=1}^{n} C_{k}\right) $. Isso é a probabilidade de que todos os eventos $ C_1, C_2, ···, C_n $ ocorram juntos, ou seja, que dê “cara” em cada um dos $ n $ lançamentos.
Passo 3
Como cada lançamento da moeda é independente, a probabilidade de cada $ C_k $ (dar “cara” no lançamento $ k $) é a mesma, vamos chamar de $ p $. Para uma moeda justa, $ p = \frac{1}{2} $.
Passo 4
A probabilidade da interseção de eventos independentes é o produto das probabilidades individuais. Então, temos:
Passo 5
Como todas as $ \mathbb{P}(C_k) = \frac{1}{2} $, substituímos na expressão:
Resposta
A probabilidade de sair “cara” em todos os $ n $ lançamentos é $ \left(\frac{1}{2}\right)^n $.