Considere novamente o contexto da Questão 7., em que uma moeda é lançada n=3 vezes. Suponha agora que, ao invés de n=3 lançamentos, façamos um número qualquer n in N de lançamentos. Defina C1=[ cara no 1^0 lançamento ], C2=[ cara no 2^0 lançamento] , ldots, Cn= [cara no n-ésimo lançamento]. Considerando novamente que cada elemento do espaço amostral têm probabilidade igual, defina capk=1^n Ck=C1 cap C2 cap ldots cap Cn e calcule P(capk=1^n Ck) (Dica: utilize a independência entre os Ci

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre lançar uma moeda $ n $ vezes e calcular a probabilidade de sair “cara” em todos os lançamentos. O conteúdo aqui é de Probabilidade, mais especificamente sobre eventos independentes. Para resolver, vamos usar a ideia de que cada lançamento é independente e multiplicar as probabilidades individuais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa $ \mathbb{P}\left(\bigcap_{k=1}^{n} C_{k}\right) $. Isso é a probabilidade de que todos os eventos $ C_1, C_2, ···, C_n $ ocorram juntos, ou seja, que dê “cara” em cada um dos $ n $ lançamentos.

Passo 3

Como cada lançamento da moeda é independente, a probabilidade de cada $ C_k $ (dar “cara” no lançamento $ k $) é a mesma, vamos chamar de $ p $. Para uma moeda justa, $ p = \frac{1}{2} $.

Passo 4

A probabilidade da interseção de eventos independentes é o produto das probabilidades individuais. Então, temos:
P(capk=1^n Ck) = P(C1) times P(C2) times ldots times P(Cn)

Passo 5

Como todas as $ \mathbb{P}(C_k) = \frac{1}{2} $, substituímos na expressão:
P(Ck) = 12

Resposta

A probabilidade de sair “cara” em todos os $ n $ lançamentos é $ \left(\frac{1}{2}\right)^n $.

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