Defina agora B2= a 2^a bola retirada é branca e e V2=[ a 2^a bola retirada é vermelha]. Calcule P(B2 mid B1), P(V2 mid B1), P(B2 mid V1) e P(V2 mid V1) (Dica: ao invés de utilizar a definição formal de probabilidade condicional, utilize seu conhecimento sobre a dinâmica do problema. Por exemplo, dado que a primeira bola retirada é branca, qual a probabilidade de que a segunda bola retirada também seja branca?).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade condicional de retirar bolas de duas cores diferentes: branca e vermelha. Aqui, estamos trabalhando com probabilidade condicional, que nos ajuda a entender a chance de um evento ocorrer dado que outro já aconteceu. Para resolver, vamos precisar entender como as probabilidades se comportam quando já sabemos o resultado de um evento anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o cenário. Suponha que temos uma urna com um total de $ N $ bolas, onde $ W $ são brancas e $ R $ são vermelhas. Claro, $ N = W + R $. Queremos calcular a probabilidade da segunda bola ser branca ou vermelha, dado o resultado da primeira.

Passo 3

Vamos calcular $ \mathbb{P}\left(B_{2} \mid B_{1}\right) $, que é a probabilidade de a segunda bola ser branca sabendo que a primeira foi branca.
Depois de retirar uma bola branca, restam $ W - 1 $ bolas brancas e ainda $ R $ vermelhas. O total de bolas agora é $ N - 1 $. Então:
P(B2 mid B1)

Passo 4

Agora, vamos para $ \mathbb{P}\left(V_{2} \mid B_{1}\right) $, a probabilidade de a segunda bola ser vermelha sabendo que a primeira foi branca.
Após retirar uma bola branca, permanecem $ R $ bolas vermelhas e $ W - 1 $ brancas, totalizando $ N - 1 $ bolas. Assim:
P(V2 mid B1)

Passo 5

Vamos calcular $ \mathbb{P}\left(B_{2} \mid V_{1}\right) $, a probabilidade de a segunda bola ser branca dado que a primeira foi vermelha.
Após retirar uma vermelha, ainda temos $ W $ bolas brancas e $ R - 1 $ vermelhas, totalizando $ N - 1 $ bolas. Então:
P(B2 mid V1)

Passo 6

Por último, calculamos $ \mathbb{P}\left(V_{2} \mid V_{1}\right) $, a probabilidade de a segunda bola ser vermelha sabendo que a primeira foi vermelha.
Após retirar uma vermelha, restam $ R - 1 $ vermelhas e $ W $ brancas, totalizando $ N - 1 $ bolas. Assim:
P(V2 mid V1)

Resposta

As probabilidades condicionais são:
P(B2 mid B1) = W - 1N - 1, P(V2 mid B1) = RN - 1,
P(B2 mid V1) = WN - 1, P(V2 mid V1) = R - 1N - 1

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