Considere o núcleo de dimensões dadas no Problema 1. A bobina requer uma indutância de
. A corrente elétrica máxima é de 3 A , e a densidade máxima de fluxo magnético não deve exceder
. Calcule o número de espiras
e a permeabilidade relativa
do material magnético que deve ser usado.
Passo 1
Resumo do que o enunciado dá e do que está faltando (muito importante):\n
- O enunciado pede que se calcule o número de espiras
e a permeabilidade relativa do material do núcleo.\n - Dados numéricos fornecidos no enunciado: a indutância desejada
, a corrente máxima e a densidade máxima de fluxo magnético .\n - O enunciado refere-se a “o núcleo de dimensões dadas no Problema 1”. Essas dimensões são essenciais para obter números: pelo menos precisamos da área da seção transversal do núcleo
e do comprimento médio do caminho magnético . Além disso precisamos saber se existe entreferro (gap) no núcleo e o comprimento desse entreferro .\n - Observação importante: como você não me enviou as dimensões do Problema 1, não tenho valores numéricos para
nem para (nem para , caso haja entreferro). Sem esses dados geométricos não é possível encontrar valores numéricos finais de e . Não vou inventar números — vou mostrar passo a passo como calcular e as fórmulas finais que você aplica assim que tiver e .\n
Passo 2
Definindo variáveis e lembrando as fórmulas básicas da teoria (aula rápida e prática):\n
-
: número de espiras que queremos achar.\n -
: indutância da bobina (dada, ).\n -
ou : corrente máxima (dada, ).\n -
ou : densidade de fluxo magnético máxima permitida (dada, ).\n -
: área da seção transversal do núcleo (em ).\n -
: comprimento médio do caminho magnético no núcleo (em ).\n -
: permeabilidade do vácuo, .\n -
: permeabilidade relativa do material (o que queremos achar).\n
Vamos recordar duas relações fundamentais para um circuito magnético simples (núcleo sem entreferro):\n
- Relutância do núcleo (analogamente à resistência elétrica):
Isto vem diretamente da definição de permeabilidade e da analogia fluxo/queda de potencial.\n
2) Fluxo magnético criado por uma espira com corrente
e
espiras:
2) Fluxo magnético
A densidade de fluxo é
.\n
3) Indutância da bobina:
3) Indutância da bobina:
Essas três equações são a base do que vamos usar. Vou agora manipular passo a passo.
Passo 3
Expressão para a densidade de fluxo
em função de
:\n
Partindo de e
, temos
Partindo de
Dividindo por
para obter
,
Interpretação: quanto maior
, maior o
para a mesma
e
; quanto maior
, menor o
.
Passo 4
Expressão para a indutância
em função de
:\n
Como indicado antes,
Como indicado antes,
Isso mostra que
cresce com
e com a permeabilidade efetiva
, e diminui com o comprimento magnético
.
Passo 5
Eliminando
para obter uma expressão direta para
:\n
Nós temos duas equações úteis (mostradas nos passos anteriores):
Nós temos duas equações úteis (mostradas nos passos anteriores):
e
Note que as duas equações contêm o produto
. Podemos eliminar
dividindo as equações convenientemente. Por exemplo, isole
da segunda:
Substitua na fórmula de
:
Simplificando,
Agora isolamos
:
Muito bom: isto significa que, para um núcleo sem entreferro, o número de espiras necessário depende apenas de
,
,
e da área
— e não da
. Ou seja, uma vez conhecida a geometria (
), você obtém
direto.
Passo 6
Encontrando
depois de conhecer
:\n
Com calculado, voltamos à expressão de
para achar
. Reescrevendo a equação de
:
Com
Isolando
,
Portanto o procedimento prático é: (i) obter
e
do núcleo; (ii) calcular
pela fórmula do Passo 5; (iii) calcular
pela fórmula acima; (iv) escolher um material comercial com
igual ou maior (ou reajustar
para uma
comercial) e verificar arredondamentos e limites reais.
Passo 7
Unidades, constantes e verificação rápida de consistência (como fazer na prova sem calculadora):\n
- Use unidades do SI:
em henries ( ), em , em m, em T, em A.\n -
(lembrar ).\n - Fórmula para
(Passo 5) usa proporção direta: se aumenta, diminui linearmente; se maior, menor.\n - Se o núcleo tiver entreferro (gap) de comprimento
, a relutância do entreferro domina e as fórmulas mudam muito: a relutância total fica
Nesse caso não é possível eliminar
como fizemos e as duas equações (indutância e
) devem ser resolvidas simultaneamente levando em conta o termo do entreferro. Se o núcleo do Problema 1 tiver entreferro você tem que me dizer
ou então incluir esse termo nas contas.\n
Passo 8
Exemplo ilustrativo hipotético (apenas para ver como aplicar; não é o resultado do seu problema porque eu não sei
nem
):\n
- Suponha hipoteticamente
(2 cm^2) e (8 cm). Então com , , :\n
Calcule:
Isto daria menos de uma volta — resultado não físico porque escolhemos uma área grande para esses dados; o ponto principal é: o valor de
depende fortemente de
. Você teria que ajustar área,
ou aceitar uma densidade
menor.\n
Em seguida, se fosse um valor razoável (por exemplo 10 espiras), calcularíamos
pela fórmula do Passo 6.\n
Conclusão do exemplo: serve só para treinar a aplicação das fórmulas. Para obter um valor real e físico você precisa dos números geométricos de fato.
Em seguida, se
Conclusão do exemplo: serve só para treinar a aplicação das fórmulas. Para obter um valor real e físico você precisa dos números geométricos de fato.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
e
sem as dimensões do núcleo (pelo menos
e
; e o comprimento do entreferro
se houver entreferro). Em termos das dimensões, as fórmulas finais a aplicar são:\n