Considere o núcleo de dimensões dadas no Problema 1. A bobina requer uma indutância de 25 \mu \mathrm{H}. A corrente elétrica máxima é de 3 A , e a densidade máxima de fluxo magnético não deve exceder 1,3 \mathrm{~T}. Calcule o número de espiras N e a permeabilidade relativa \mu_{\mathrm{r}} do material magnético que deve ser usado.

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e do que está faltando (muito importante):\n
  • O enunciado pede que se calcule o número de espiras N e a permeabilidade relativa \mu_{\mathrm{r}} do material do núcleo.\n
  • Dados numéricos fornecidos no enunciado: a indutância desejada L=25\\ \mu\mathrm{H}, a corrente máxima I_{\max}=3\\ \mathrm{A} e a densidade máxima de fluxo magnético B_{\max}=1{,}3\\ \mathrm{T}.\n
  • O enunciado refere-se a “o núcleo de dimensões dadas no Problema 1”. Essas dimensões são essenciais para obter números: pelo menos precisamos da área da seção transversal do núcleo A e do comprimento médio do caminho magnético l_m. Além disso precisamos saber se existe entreferro (gap) no núcleo e o comprimento desse entreferro g.\n
  • Observação importante: como você não me enviou as dimensões do Problema 1, não tenho valores numéricos para A nem para l_m (nem para g, caso haja entreferro). Sem esses dados geométricos não é possível encontrar valores numéricos finais de N e \mu_{\mathrm{r}}. Não vou inventar números — vou mostrar passo a passo como calcular e as fórmulas finais que você aplica assim que tiver A e l_m.\n

Passo 2

Definindo variáveis e lembrando as fórmulas básicas da teoria (aula rápida e prática):\n
  • N: número de espiras que queremos achar.\n
  • L: indutância da bobina (dada, 25\\ \mu\mathrm{H}).\n
  • I ou I_{\max}: corrente máxima (dada, 3\\ \mathrm{A}).\n
  • B ou B_{\max}: densidade de fluxo magnético máxima permitida (dada, 1{,}3\\ \mathrm{T}).\n
  • A: área da seção transversal do núcleo (em \mathrm{m}^2).\n
  • l_m: comprimento médio do caminho magnético no núcleo (em \mathrm{m}).\n
  • \mu_0: permeabilidade do vácuo, \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.\n
  • \mu_{\mathrm{r}}: permeabilidade relativa do material (o que queremos achar).\n
    Vamos recordar duas relações fundamentais para um circuito magnético simples (núcleo sem entreferro):\n
  1. Relutância do núcleo (analogamente à resistência elétrica):
\mathcal{R}_m=\frac{l_m}{\mu_0\mu_{\mathrm{r}}A}.
Isto vem diretamente da definição de permeabilidade e da analogia fluxo/queda de potencial.\n
2) Fluxo magnético \Phi criado por uma espira com corrente I e N espiras:
\Phi=\frac{N I}{\mathcal{R}_m}.
A densidade de fluxo é \,B=\Phi/A.\n
3) Indutância da bobina:
L=\frac{N\Phi}{I}=\frac{N^2}{\mathcal{R}_m}=N^2\frac{\mu_0\mu_{\mathrm{r}}A}{l_m}.
Essas três equações são a base do que vamos usar. Vou agora manipular passo a passo.

Passo 3

Expressão para a densidade de fluxo B em função de N,\\ \mu_{\mathrm{r}},\\ I,\\ l_m:\n
Partindo de \Phi=\dfrac{N I}{\mathcal{R}_m} e \mathcal{R}_m=\dfrac{l_m}{\mu_0\mu_{\mathrm{r}}A}, temos
\Phi = N I \frac{\mu_0\mu_{\mathrm{r}}A}{l_m}.
Dividindo por A para obter B,
B=\frac{\Phi}{A}=\mu_0\mu_{\mathrm{r}}\frac{N I}{l_m}.
Interpretação: quanto maior \mu_{\mathrm{r}}, maior o B para a mesma N e I; quanto maior l_m, menor o B.

Passo 4

Expressão para a indutância L em função de N,\\ \mu_{\mathrm{r}},\\ A,\\ l_m:\n
Como indicado antes,
L=N^2\frac{\mu_0\mu_{\mathrm{r}}A}{l_m}.
Isso mostra que L cresce com N^2 e com a permeabilidade efetiva \mu_0\mu_{\mathrm{r}}, e diminui com o comprimento magnético l_m.

Passo 5

Eliminando \mu_{\mathrm{r}} para obter uma expressão direta para N:\n
Nós temos duas equações úteis (mostradas nos passos anteriores):
L=N^2\frac{\mu_0\mu_{\mathrm{r}}A}{l_m}
e
B_{\max}=\mu_0\mu_{\mathrm{r}}\frac{N I_{\max}}{l_m}.
Note que as duas equações contêm o produto \mu_0\mu_{\mathrm{r}}\frac{1}{l_m}. Podemos eliminar \mu_{\mathrm{r}} dividindo as equações convenientemente. Por exemplo, isole \mu_0\mu_{\mathrm{r}}/l_m da segunda:
\frac{\mu_0\mu_{\mathrm{r}}}{l_m}=\frac{B_{\max}}{N I_{\max}}.
Substitua na fórmula de L:
L = N^2\left(\frac{\mu_0\mu_{\mathrm{r}}}{l_m}\right)A = N^2\left(\frac{B_{\max}}{N I_{\max}}\right)A.
Simplificando,
L = N\frac{B_{\max}A}{I_{\max}}.
Agora isolamos N:
\boxed{\,N=\frac{L I_{\max}}{B_{\max}A}\,}.
Muito bom: isto significa que, para um núcleo sem entreferro, o número de espiras necessário depende apenas de L, I_{\max}, B_{\max} e da área A — e não da \mu_{\mathrm{r}}. Ou seja, uma vez conhecida a geometria ( A), você obtém N direto.

Passo 6

Encontrando \mu_{\mathrm{r}} depois de conhecer N:\n
Com N calculado, voltamos à expressão de B para achar \mu_{\mathrm{r}}. Reescrevendo a equação de B:
B_{\max}=\mu_0\mu_{\mathrm{r}}\frac{N I_{\max}}{l_m}.
Isolando \mu_{\mathrm{r}},
\boxed{\,\mu_{\mathrm{r}}=\frac{B_{\max}\,l_m}{\mu_0\,N\,I_{\max}}\,}.
Portanto o procedimento prático é: (i) obter A e l_m do núcleo; (ii) calcular N pela fórmula do Passo 5; (iii) calcular \mu_{\mathrm{r}} pela fórmula acima; (iv) escolher um material comercial com \mu_{\mathrm{r}} igual ou maior (ou reajustar N para uma \mu_{\mathrm{r}} comercial) e verificar arredondamentos e limites reais.

Passo 7

Unidades, constantes e verificação rápida de consistência (como fazer na prova sem calculadora):\n
  • Use unidades do SI: L em henries ( 25\\ \mu\mathrm{H}=25\times10^{-6}\\ \mathrm{H}), A em \mathrm{m}^2, l_m em m, B em T, I em A.\n
  • \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} (lembrar 4\pi\approx12{,}566).\n
  • Fórmula para N (Passo 5) usa proporção direta: se A aumenta, N diminui linearmente; se B_{\max} maior, N menor.\n
  • Se o núcleo tiver entreferro (gap) de comprimento g, a relutância do entreferro domina e as fórmulas mudam muito: a relutância total fica
\mathcal{R}_m=\frac{l_m}{\mu_0\mu_{\mathrm{r}}A}+\frac{g}{\mu_0 A}.
Nesse caso não é possível eliminar \mu_{\mathrm{r}} como fizemos e as duas equações (indutância e B) devem ser resolvidas simultaneamente levando em conta o termo do entreferro. Se o núcleo do Problema 1 tiver entreferro você tem que me dizer g ou então incluir esse termo nas contas.\n

Passo 8

Exemplo ilustrativo hipotético (apenas para ver como aplicar; não é o resultado do seu problema porque eu não sei A nem l_m):\n
  • Suponha hipoteticamente A=2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 (2 cm^2) e l_m=0{,}08\\ \mathrm{m} (8 cm). Então com L=25\times10^{-6}\\ \mathrm{H}, I_{\max}=3\\ \mathrm{A}, B_{\max}=1{,}3\\ \mathrm{T}:\n
    Calcule N:
N=\frac{L I_{\max}}{B_{\max} A}=\frac{25\times10^{-6}\cdot 3}{1{,}3\cdot 2{,}0\times10^{-4}} =\frac{75\times10^{-6}}{2{,}6\times10^{-4}} \approx0{,}288.
Isto daria menos de uma volta — resultado não físico porque escolhemos uma área grande para esses dados; o ponto principal é: o valor de N depende fortemente de A. Você teria que ajustar área, L ou aceitar uma densidade B menor.\n
Em seguida, se N fosse um valor razoável (por exemplo 10 espiras), calcularíamos \mu_{\mathrm{r}} pela fórmula do Passo 6.\n
Conclusão do exemplo: serve só para treinar a aplicação das fórmulas. Para obter um valor real e físico você precisa dos números geométricos de fato.

Resposta

Não é possível determinar numericamente N e \mu_{\mathrm{r}} sem as dimensões do núcleo (pelo menos A e l_m; e o comprimento do entreferro g se houver entreferro). Em termos das dimensões, as fórmulas finais a aplicar são:\n
N=\frac{L\,I_{\max}}{B_{\max}\,A}\n
\mu_{\mathrm{r}}=\frac{B_{\max}\,l_m}{\mu_0\,N\,I_{\max}}

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