Considere o número 87 a b 6, sendo a e b os algarismos da centena e da dezena desse número. Quantos são os números dessa forma que são divisíveis por 9?

Passo 1

O enunciado pede quantos números da forma 87ab6 (onde a e b são algarismos de 0 a 9) são divisíveis por 9. Vamos usar o critério de divisibilidade por 9, que diz que um número é divisível por 9 se, e somente se, a soma de seus dígitos for múltipla de 9.

Passo 2

Compute a soma dos dígitos do número genérico 87ab6:
8 + 7 + a + b + 6 = 21 + a + b.

Passo 3

Para que 21 + a + b seja múltiplo de 9, precisamos ter
21 + a + b \equiv 0 \pmod{9}.
Como 21 \equiv 3 \pmod{9}, isto equivale a
a + b \equiv -3 \equiv 6 \pmod{9}.
Como a+b varia de 0 a 18, as únicas possibilidades são
a+b = 6 \quad\text{ou}\quad a+b = 15.

Passo 4

Contamos as soluções para cada caso, lembrando que a,b\in\{0,1,\dots,9\}:
Caso a+b=6: pares (a,b) são
(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0), totalizando 7 soluções.
Caso a+b=15: pares (a,b) com 0\le a,b\le9 são
(6,9),(7,8),(8,7),(9,6), totalizando 4 soluções.

Passo 5

Somando os dois casos, o número total de pares (a,b) é
7 + 4 = 11.

Resposta

Existem 11 números da forma 87ab6 que são divisíveis por 9.

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