Mostre que o número
é divisível por 24 , para todo
natural.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, o produto
é múltiplo de 24. Aqui vamos usar ideias de fatoração e testes de divisibilidade por 3 e por potências de 2 (já que
).
Passo 2
Observe que
logo podemos reescrever o produto como
Passo 3
Divisibilidade por 3: entre três inteiros consecutivos
, um deles é múltiplo de 3. Portanto
e, consequentemente,
.
Passo 4
Divisibilidade por
: vamos analisar o fator
, isto é, quantas vezes 2 divide
. Note que
pois entre três consecutivos há pelo menos um par. Precisamos ainda de mais dois fatores 2, que virão de um desses casos, conforme
módulo 4:
- Se
, então e
somando
.
-
Se
, então e , totalizando . -
Se
, então e
de modo que
.
- Se
, então e , somando .
Em todas as situações obtemos
, ou seja,
.
Resposta
Como
e
, concluímos que
para todo
. Portanto o número dado é divisível por 24.