Mostre que o número n\left(n^{2}-1\right)(3 n+2) é divisível por 24 , para todo n natural.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}, o produto
n\bigl(n^{2}-1\bigr)\bigl(3n+2\bigr)
é múltiplo de 24. Aqui vamos usar ideias de fatoração e testes de divisibilidade por 3 e por potências de 2 (já que 24=3\cdot2^{3}).

Passo 2

Observe que
n^{2}-1=(n-1)(n+1),
logo podemos reescrever o produto como
P(n)=\underbrace{(n-1)\,n\,(n+1)}_{\text{três inteiros consecutivos}}\,(3n+2).ê

Passo 3

Divisibilidade por 3: entre três inteiros consecutivos (n-1),n,(n+1), um deles é múltiplo de 3. Portanto
3\mid (n-1)\,n\,(n+1)
e, consequentemente, 3\mid P(n).

Passo 4

Divisibilidade por 2^{3}=8: vamos analisar o fator v_{2}(P(n)), isto é, quantas vezes 2 divide P(n). Note que
v_{2}\bigl((n-1)n(n+1)\bigr)\;\ge\;1
pois entre três consecutivos há pelo menos um par. Precisamos ainda de mais dois fatores 2, que virão de um desses casos, conforme n módulo 4:
  1. Se n=4k, então v_{2}(n)\ge2 e
3n+2=12k+2=2(6k+1)\quad\Longrightarrow\quad v_{2}(3n+2)=1,
somando v_{2}(P(n))\ge2+1=3.
  1. Se n=4k+1, então v_{2}(n-1)=v_{2}(4k)=2 e v_{2}(n+1)\ge1, totalizando v_{2}(P(n))\ge2+1=3.
  2. Se n=4k+2, então v_{2}(n)=1 e
3n+2=12k+6+2=12k+8=4(3k+2)\quad\Longrightarrow\quad v_{2}(3n+2)=2,
de modo que v_{2}(P(n))\ge1+2=3.
  1. Se n=4k+3, então v_{2}(n-1)=v_{2}(4k+2)=1 e v_{2}(n+1)=v_{2}(4k+4)=2, somando v_{2}(P(n))\ge1+2=3.
Em todas as situações obtemos v_{2}(P(n))\ge3, ou seja, 8\mid P(n).

Resposta

Como 3\mid P(n) e 8\mid P(n), concluímos que
24=3\cdot8\mid P(n)=n\bigl(n^{2}-1\bigr)\bigl(3n+2\bigr)
para todo n\in\mathbb{N}. Portanto o número dado é divisível por 24.

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