Considere o número complexo z=-2+2 i.
Escreva z na sua forma trigonométrica.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo z=-2+2i na forma trigonométrica, ou seja, encontrar seu módulo r e seu argumento theta, usando a representação z = rl(costheta + isinthetar).

Passo 2

Para achar o módulo r, usamos a definição r = |z| = raizRe(z)^2 + Im(z)^2. Aqui temos Re(z) = -2 e Im(z) = 2, então
r = raiz(-2)^2 + 2^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2

Passo 3

Para obter o argumento theta, usamos theta = arctanl(Im(z)/Re(z)r), mas devemos ajustar o valor segundo o quadrante. Calculamos primeiro
alpha = arctanl(2-2r) = arctan(-1) = -pi4

Passo 4

Como o ponto (-2,2) está no segundo quadrante (x negativo, y positivo), o ângulo correto satisfaz theta = pi + alpha se alpha viesse do terceiro quadrante ou theta = pi - |alpha|. Aqui vemos que
theta = pi - pi4 = 3pi4

Passo 5

Agora que temos r = 2raiz2 e theta = tfrac3pi4, escrevemos a forma trigonométrica:
z = 2raiz2l(costfrac3pi4 + isintfrac3pi4r)

Resposta

2raiz2l(costfrac3pi4 + isintfrac3pi4r)

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