Escreva, em coordenadas cartesianas e em coordenadas esféricas, a integral que permite calcular o volume do menor sólido delimitado simultaneamente pelas superfícies x^2+ y^2+z^2=16 e x^2+y^2+z^2=8 z.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está simultaneamente dentro da esfera de raio 4 centrada na origem (x²+y²+z²=16) e da esfera de raio 4 centrada em (0,0,4) (x²+y²+z²=8z). Vamos montar as integrais em coordenadas cartesianas e em coordenadas esféricas.

Passo 2

Para entender a região, completamos o quadrado em x²+y²+z²=8z: isso vira x²+y²+(z−4)²=16. As duas esferas se intersectam quando z satisfaz ambas igualdades; subtraindo uma da outra achamos z=2. A interseção vertical ocorre para 0≤z≤4 (pois abaixo de z=0 uma das esferas não existe e acima de z=4 a outra não existe). Para cada z, o raio da seção em xy é dado por min(√(16−z²),√(16−(z−4)²)), trocando de dominante em z=2.

Passo 3

Em coordenadas cartesianas, separamos a integral em duas fatias: de z=0 a 2 o limite radial vem da esfera centrada em (0,0,4), isto é x²+y²≤16−(z−4)²; de z=2 a 4 vem da esfera centrada na origem, x²+y²≤16−z². Assim:

Passo 4

Em coordenadas esféricas usamos x=ρ sinφ cosθ, y=ρ sinφ sinθ, z=ρ cosφ; aí as esferas ficam ρ=4 e ρ=8 cosφ. O limite ρ é o mínimo entre 4 e 8 cosφ. Como 8 cosφ=4 em φ=π/3, separamos φ∈[0,π/3] e φ∈[π/3,π/2].

Resposta

Em coordenadas cartesianas:
V=integralz=0^2integraly=-raiz16-(z-4)^2^raiz16-(z-4)^2integralx=-raiz16-(z-4)^2-y^2^raiz16-(z-4)^2-y^2dx,dy,dz +integralz=2^4integraly=-raiz16-z^2^raiz16-z^2integralx=-raiz16-z^2-y^2^raiz16-z^2-y^2dx,dy,dz
Em coordenadas esféricas:
V=integraltheta=0^2piintegralphi=0^pi/3integralrho=0^4rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta +integraltheta=0^2piintegralphi=pi/3^pi/2integralrho=0^8cosphirho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

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