Escreva, em coordenadas cartesianas e em coordenadas esféricas, a integral que permite calcular o volume do menor sólido delimitado simultaneamente pelas superfícies
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está simultaneamente dentro da esfera de raio 4 centrada na origem (x²+y²+z²=16) e da esfera de raio 4 centrada em (0,0,4) (x²+y²+z²=8z). Vamos montar as integrais em coordenadas cartesianas e em coordenadas esféricas.
Passo 2
Para entender a região, completamos o quadrado em x²+y²+z²=8z: isso vira x²+y²+(z−4)²=16. As duas esferas se intersectam quando z satisfaz ambas igualdades; subtraindo uma da outra achamos z=2. A interseção vertical ocorre para 0≤z≤4 (pois abaixo de z=0 uma das esferas não existe e acima de z=4 a outra não existe). Para cada z, o raio da seção em xy é dado por min(√(16−z²),√(16−(z−4)²)), trocando de dominante em z=2.
Passo 3
Em coordenadas cartesianas, separamos a integral em duas fatias: de z=0 a 2 o limite radial vem da esfera centrada em (0,0,4), isto é x²+y²≤16−(z−4)²; de z=2 a 4 vem da esfera centrada na origem, x²+y²≤16−z². Assim:
Passo 4
Em coordenadas esféricas usamos x=ρ sinφ cosθ, y=ρ sinφ sinθ, z=ρ cosφ; aí as esferas ficam ρ=4 e ρ=8 cosφ. O limite ρ é o mínimo entre 4 e 8 cosφ. Como 8 cosφ=4 em φ=π/3, separamos φ∈[0,π/3] e φ∈[π/3,π/2].
Resposta
Em coordenadas cartesianas:
Em coordenadas esféricas: