Represente geometricamente o sólido cuja massa é calculada, em coordenadas esféricas, pela expressão
M=integral0^2 pi integral0^pi6 integralraiz3cos phi^raiz5cos ^2 phi+2 sin ^2 phi rho d rho d phi d theta
A seguir, reescreva esta expressão em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Temos um sólido cuja massa é dada em coordenadas esféricas por
M=integral0^2pi!integral0^pi6!integralraiz3cosphi^raiz5cos^2phi+2sin^2phi!rho,drho,dphi,dtheta
Vamos identificar as superfícies que limitam o corpo e depois passar para coordenadas cilíndricas.

Passo 2

A superfície interior ρ= tfracraiz3cosphi satisfaz
z=ρcosφ=raiz3,
ou seja, é o plano horizontal z= raiz3.

Passo 3

A superfície exterior ρ= raiztfrac5cos^2phi+2sin^2phi
ρ^2(cos^2phi+2sin^2phi)=5
e, usando z=ρcosφ e r=ρsinφ, obtemos
z^2+2r^2=5,
que é uma seção de elipsoide de revolução.

Passo 4

A condição φ <=tfracπ6 é o cone de vértice na origem e semiângulo φ= π/6, i.e.\n r<= ztantfracπ6=zraiz3
Geometricamente o sólido fica entre o plano z= raiz3 e o elipsoide z{2}+2r{2}=5, contido dentro do cone φ= π/6.

Passo 5

Note que o cone não corta de fato a região porque, para z >=raiz3, a projeção do elipsoide em r satisfaz
rmáx=raiztfrac5-z^22<=zraiz3 á
sempre que z >=raiz3. Logo o corpo é descrito em cilíndricas por
0<= θ<=2π, 0<= r<=1, raiz3<= z<=raiz5-2r^2

Passo 6

Finalmente, em coordenadas cilíndricas (densidade unitária), o elemento de volume é r,dz,dr,dθ e o integral fica:
M=integral0^2pi!integral0^1!integralraiz3^raiz5-2r^2r,dz,dr,dθ

Resposta

M=\displaystyle\int_{0}{2\pi}!\int_{0}{1}!\int_{\sqrt3}{\sqrt{5-2r{2}}}r,dz,dr,dθ

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