Represente geometricamente o sólido cuja massa é calculada, em coordenadas esféricas, pela expressão
A seguir, reescreva esta expressão em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Temos um sólido cuja massa é dada em coordenadas esféricas por
Vamos identificar as superfícies que limitam o corpo e depois passar para coordenadas cilíndricas.
Passo 2
A superfície interior ρ=
satisfaz
ou seja, é o plano horizontal z=
.
Passo 3
A superfície exterior ρ=
dá
e, usando z=ρcosφ e r=ρsinφ, obtemos
que é uma seção de elipsoide de revolução.
Passo 4
A condição φ
é o cone de vértice na origem e semiângulo φ=
, i.e.\n
Geometricamente o sólido fica entre o plano z=
e o elipsoide z{2}+2r{2}=5, contido dentro do cone φ=
.
Passo 5
Note que o cone não corta de fato a região porque, para z
, a projeção do elipsoide em r satisfaz
sempre que z
. Logo o corpo é descrito em cilíndricas por
Passo 6
Finalmente, em coordenadas cilíndricas (densidade unitária), o elemento de volume é r,dz,dr,dθ e o integral fica:
Resposta
M=\displaystyle\int_{0}{2\pi}!\int_{0}{1}!\int_{\sqrt3}{\sqrt{5-2r{2}}}r,dz,dr,dθ