Considere m>1 um número natural não primo. Repita a construção feita para o conjunto da classes dos restos, agora para o número m, formando assim o conjunto
\mathbb{Z}_{m}=\left\{[0]_{m},[1]_{m}, \cdots,[m-1]_{m}\right\}
com as mesmas operações dadas em (1.3).
Por exemplo, em \mathbb{Z}_{6} temos [3]_{6}+[4]_{6}=[3+4]_{6}=[7]_{6}=[1]_{6}, ou seja, sempre considerando os restos na divisão por 6 . A pergunta é \mathbb{Z}_{m} é um corpo?

Passo 1

O enunciado dá um número natural m>1 que NÃO é primo e constrói o conjunto das classes de resto
\mathbb{Z}_{m}=\left\{[0]_{m},[1]_{m},\dots,[m-1]_{m}\right\},
com as operações de soma e multiplicação usuais reduzidas módulo m (por exemplo, em \mathbb{Z}_{6} temos [3]_{6}+[4]_{6}=[1]_{6}). A pergunta é: \mathbb{Z}_{m} é um corpo?
Informações relevantes dadas:
  • m>1 e m é composto (não primo).
  • As classes são consideradas módulo m e as operações são soma e produto módulo m.
  • Foi dado um exemplo em \mathbb{Z}_{6}.

Passo 2

O que significa “ser um corpo” (definição clara e simples): um conjunto com duas operações (soma e produto) é um corpo se, além das propriedades usuais de anel com unidade, todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. Em linguagem curta: em um corpo, para todo elemento [a] com [a]\neq[0], existe [b] tal que [a]\,[b]=[1]. Essa condição é a chave que vamos usar.

Passo 3

Lembrete sobre classes e operações (para você poder aplicar na prova sem erro): a classe [a]_{m} é o conjunto \{a+km\mid k\in\mathbb{Z}\}. As operações em \mathbb{Z}_{m} são
[a]_{m}+[b]_{m}=[a+b]_{m},\qquad [a]_{m}\cdot[b]_{m}=[ab]_{m}.
É importante saber que essas operações são “bem definidas”: se a\equiv a'\pmod m e b\equiv b'\pmod m, então a+b\equiv a'+b'\pmod m e ab\equiv a'b'\pmod m. Isso garante que as classes se comportam corretamente sob soma e produto.

Passo 4

Defina dois conceitos úteis que aparecem muito em provas:
  • Unidade (elemento invertível): [a] é unidade em \mathbb{Z}_{m} se existe [b] com [a][b]=[1].
  • Divisor de zero: [a]\neq[0] é um divisor de zero se existe [c]\neq[0] tal que [a][c]=[0].
Observação importante e fácil de lembrar: em um corpo NÃO existem divisores de zero. Porque se [a][b]=[0] e [a]\neq[0], multiplicando ambos os lados por o inverso de [a] (que existe num corpo) obteríamos [b]=[0], contradição. Então existência de divisores de zero impede que o anel seja corpo.

Passo 5

Mostre que, quando m é composto, existem divisores de zero em \mathbb{Z}_{m} (argumento construtivo): como m é composto, existem inteiros u,v tais que
m=uv\qquad\text{com }1<u<m\text{ e }1<v<m.
Considere as classes [u]_{m} e [v]_{m}. Temos [u]_{m}\neq[0]_{m} porque 0<u<m (ou seja, u não é múltiplo de m); analogamente [v]_{m}\neq[0]_{m}. No entanto,
[u]_{m}\cdot[v]_{m}=[uv]_{m}=[m]_{m}=[0]_{m}.
Portanto [u]_{m} e [v]_{m} são divisores de zero não nulos em \mathbb{Z}_{m}. Isso mostra que nem todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo (um divisor de zero não pode ser invertível, pois se [u][w]=[1] então multiplicando ambos os lados por [v] teríamos [0]=[v], contradição). Logo \mathbb{Z}_{m} não pode ser um corpo quando m é composto.
Exemplo concreto para fixar: em \mathbb{Z}_{6} (aqui peguei do enunciado), 6=2\cdot3 então [2]_{6}\cdot[3]_{6}=[0]_{6}. Nem [2]_{6} nem [3]_{6} têm inverso em \mathbb{Z}_{6}.

Passo 6

Complemento útil (critério necessário e suficiente): mostro rapidamente porque \mathbb{Z}_{m} é corpo se e somente se m é primo — isso é um resultado clássico que convém saber para a prova.
  • Se m é composto, acabamos de ver que \mathbb{Z}_{m} tem divisores de zero, então não é corpo.
  • Se m é primo (digamos m=p), então para qualquer a com 0<a<p temos \gcd(a,p)=1. Pelo Teorema de Bézout existem inteiros x,y tais que
ax+py=1.
Reduzindo módulo p obtemos [a]_{p}\,[x]_{p}=[1]_{p}, ou seja, [x]_{p} é o inverso de [a]_{p}. Como isso vale para todo a não nulo, todos os elementos não nulos são invertíveis, portanto \mathbb{Z}_{p} é um corpo.
Resumo da conclusão lógica: \mathbb{Z}_{m} é corpo \iff m é primo.

Passo 7

Aplicando ao enunciado: como foi dado que m>1 e m não é primo (é composto), pela razão do Passo 5 existe um divisor de zero em \mathbb{Z}_{m}, logo nem todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. Portanto \mathbb{Z}_{m} NÃO é um corpo.

Resposta

Não — \mathbb{Z}_{m} não é um corpo quando m é composto. Em geral, \mathbb{Z}_{m} é corpo se, e somente se, m é primo.

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