Considere
um número natural não primo. Repita a construção feita para o conjunto da classes dos restos, agora para o número
, formando assim o conjunto
com as mesmas operações dadas em (1.3).
Por exemplo, em
temos
, ou seja, sempre considerando os restos na divisão por 6 . A pergunta é
é um corpo?
Por exemplo, em
Passo 1
O enunciado dá um número natural
que NÃO é primo e constrói o conjunto das classes de resto
com as operações de soma e multiplicação usuais reduzidas módulo
(por exemplo, em
temos
). A pergunta é:
é um corpo?
Informações relevantes dadas:
-
e é composto (não primo). - As classes são consideradas módulo
e as operações são soma e produto módulo . - Foi dado um exemplo em
.
Passo 2
O que significa “ser um corpo” (definição clara e simples): um conjunto com duas operações (soma e produto) é um corpo se, além das propriedades usuais de anel com unidade, todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. Em linguagem curta: em um corpo, para todo elemento
com
, existe
tal que
. Essa condição é a chave que vamos usar.
Passo 3
Lembrete sobre classes e operações (para você poder aplicar na prova sem erro): a classe
é o conjunto
. As operações em
são
É importante saber que essas operações são “bem definidas”: se
e
, então
e
. Isso garante que as classes se comportam corretamente sob soma e produto.
Passo 4
Defina dois conceitos úteis que aparecem muito em provas:
- Unidade (elemento invertível):
é unidade em se existe com . - Divisor de zero:
é um divisor de zero se existe tal que .
Observação importante e fácil de lembrar: em um corpo NÃO existem divisores de zero. Porque se
e
, multiplicando ambos os lados por o inverso de
(que existe num corpo) obteríamos
, contradição. Então existência de divisores de zero impede que o anel seja corpo.
Passo 5
Mostre que, quando
é composto, existem divisores de zero em
(argumento construtivo): como
é composto, existem inteiros
tais que
Considere as classes
e
. Temos
porque
(ou seja,
não é múltiplo de
); analogamente
. No entanto,
Portanto
e
são divisores de zero não nulos em
. Isso mostra que nem todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo (um divisor de zero não pode ser invertível, pois se
então multiplicando ambos os lados por
teríamos
, contradição). Logo
não pode ser um corpo quando
é composto.
Exemplo concreto para fixar: em
(aqui peguei do enunciado),
então
. Nem
nem
têm inverso em
.
Passo 6
Complemento útil (critério necessário e suficiente): mostro rapidamente porque
é corpo se e somente se
é primo — isso é um resultado clássico que convém saber para a prova.
- Se
é composto, acabamos de ver que tem divisores de zero, então não é corpo. - Se
é primo (digamos ), então para qualquer com temos . Pelo Teorema de Bézout existem inteiros tais que
Reduzindo módulo
obtemos
, ou seja,
é o inverso de
. Como isso vale para todo
não nulo, todos os elementos não nulos são invertíveis, portanto
é um corpo.
Resumo da conclusão lógica:
é corpo
é primo.
Passo 7
Aplicando ao enunciado: como foi dado que
e
não é primo (é composto), pela razão do Passo 5 existe um divisor de zero em
, logo nem todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. Portanto
NÃO é um corpo.
Resposta
Não —
não é um corpo quando
é composto. Em geral,
é corpo se, e somente se,
é primo.