Faça os resultados de adição e multiplicação dos elementos em
.
Passo 1
O enunciado pede para apresentar "os resultados de adição e multiplicação dos elementos em
".\n
Informações dadas (explícitas ou implícitas):\n
Informações dadas (explícitas ou implícitas):\n
- O conjunto de elementos é
.\n - Precisamos listar os resultados das operações de adição e de multiplicação entre todos os pares de elementos desse conjunto, isto é, montar as tabelas (ou calcular cada soma e cada produto) reduzidos módulo
.\n
Passo 2
O que significa "reduzir módulo
" — aula rápida e prática:\n
- Para dois inteiros
e em , a soma em é o resto da divisão de por . Em linguagem de congruência escrevemos:
onde
é o representante em
.\n
- O mesmo para o produto:
em é o resto da divisão de por :
onde
.\n
Exemplos passo a passo (faça assim na prova):\n
Exemplos passo a passo (faça assim na prova):\n
- Para calcular
: primeiro . Agora reduzimos módulo : . Logo
- Para calcular
: primeiro . Reduzindo por : . Logo
Esses passos (somar ou multiplicar normalmente e depois subtrair múltiplos de
até ficar entre
e
) é a forma prática mais rápida quando não se tem calculadora.
Passo 3
Construindo a tabela de adição em
.\n
Observação prática: cada linha é um “shift” cíclico da linha anterior, porque somar um mesmo número a apenas desloca os valores e reduz módulo
.\n
A tabela de adição (toda em módulo ) é:
Observação prática: cada linha é um “shift” cíclico da linha anterior, porque somar um mesmo número a
A tabela de adição (toda em módulo
Exemplo de leitura: da tabela tira-se
(linha
, coluna
) porque
.
Passo 4
Construindo a tabela de multiplicação em
.\n
Dica prática: calcular o produto normalmente e reduzir módulo . Para números pequenos dá pra fazer de cabeça — por exemplo,
,
, etc.\n
A tabela de multiplicação (toda em módulo ) é:
Dica prática: calcular o produto normalmente e reduzir módulo
A tabela de multiplicação (toda em módulo
Exemplo de leitura: da tabela tira-se
(linha
, coluna
) porque
.
Passo 5
Propriedades úteis para decorar rápido antes da prova (e que aparecem direto em questões):\n
- A operação é comutativa em ambos os casos:
e .\n - Identidades: elemento neutro da adição é
e da multiplicação é .\n - Inversos aditivos: para cada
o inverso aditivo é (reduzido):\n
- Inversos multiplicativos (apenas para elementos não nulos): lendo da tabela vemos que
Isto é,
,
,
em
.\n
Essas propriedades ajudam muito em provas curtas: por exemplo, para resolver basta multiplicar ambos os lados pelo inverso de
(quando
).
Essas propriedades ajudam muito em provas curtas: por exemplo, para resolver
Resposta
Tabela de adição em
:
Tabela de multiplicação em
: