Faça os resultados de adição e multiplicação dos elementos em \mathbb{Z}_{7}.

Passo 1

O enunciado pede para apresentar "os resultados de adição e multiplicação dos elementos em \mathbb{Z}_{7}".\n
Informações dadas (explícitas ou implícitas):\n
  • O conjunto de elementos é \mathbb{Z}_{7}=\{0,1,2,3,4,5,6\}.\n
  • Precisamos listar os resultados das operações de adição e de multiplicação entre todos os pares de elementos desse conjunto, isto é, montar as tabelas (ou calcular cada soma e cada produto) reduzidos módulo 7.\n

Passo 2

O que significa "reduzir módulo 7" — aula rápida e prática:\n
  • Para dois inteiros a e b em \mathbb{Z}_{7}, a soma em \mathbb{Z}_{7} é o resto da divisão de a+b por 7. Em linguagem de congruência escrevemos:
a+b \equiv r \pmod{7}
onde r é o representante em \{0,1,2,3,4,5,6\}.\n
  • O mesmo para o produto: a\cdot b em \mathbb{Z}_{7} é o resto da divisão de a\cdot b por 7:
a\cdot b \equiv s \pmod{7}
onde s\in\{0,1,2,3,4,5,6\}.\n
Exemplos passo a passo (faça assim na prova):\n
  • Para calcular 5+4: primeiro 5+4=9. Agora reduzimos módulo 7: 9-7=2. Logo
5+4 \equiv 2 \pmod{7}.
  • Para calcular 3\cdot 5: primeiro 3\cdot 5=15. Reduzindo por 7: 15-2\cdot 7=15-14=1. Logo
3\cdot 5 \equiv 1 \pmod{7}.
Esses passos (somar ou multiplicar normalmente e depois subtrair múltiplos de 7 até ficar entre 0 e 6) é a forma prática mais rápida quando não se tem calculadora.

Passo 3

Construindo a tabela de adição em \mathbb{Z}_{7}.\n
Observação prática: cada linha é um “shift” cíclico da linha anterior, porque somar um mesmo número a 0,1,\dots,6 apenas desloca os valores e reduz módulo 7.\n
A tabela de adição (toda em módulo 7) é:
\begin{array}{c|ccccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 \\\\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 \\\\ 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 \\\\ 4 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 5 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 6 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\ \end{array}
Exemplo de leitura: da tabela tira-se 4+5=2 (linha 4, coluna 5) porque 4+5=9\equiv 2\pmod{7}.

Passo 4

Construindo a tabela de multiplicação em \mathbb{Z}_{7}.\n
Dica prática: calcular o produto normalmente e reduzir módulo 7. Para números pequenos dá pra fazer de cabeça — por exemplo, 2\cdot 4=8\equiv1, 6\cdot6=36\equiv1, etc.\n
A tabela de multiplicação (toda em módulo 7) é:
\begin{array}{c|ccccccc} \cdot & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\\ 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5 \\\\ 3 & 0 & 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4 \\\\ 4 & 0 & 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3 \\\\ 5 & 0 & 5 & 3 & 1 & 6 & 4 & 2 \\\\ 6 & 0 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\\ \end{array}
Exemplo de leitura: da tabela tira-se 3\cdot4=5 (linha 3, coluna 4) porque 3\cdot4=12\equiv5\pmod{7}.

Passo 5

Propriedades úteis para decorar rápido antes da prova (e que aparecem direto em questões):\n
  • A operação é comutativa em ambos os casos: a+b=b+a e a\cdot b=b\cdot a.\n
  • Identidades: elemento neutro da adição é 0 e da multiplicação é 1.\n
  • Inversos aditivos: para cada a o inverso aditivo é 7-a (reduzido):\n
0^{-}=0,\;1^{-}=6,\;2^{-}=5,\;3^{-}=4,\;4^{-}=3,\;5^{-}=2,\;6^{-}=1.
  • Inversos multiplicativos (apenas para elementos não nulos): lendo da tabela vemos que
1^{-1}=1,\;2^{-1}=4,\;3^{-1}=5,\;4^{-1}=2,\;5^{-1}=3,\;6^{-1}=6.
Isto é, 2\cdot4\equiv1, 3\cdot5\equiv1, 6\cdot6\equiv1 em \mathbb{Z}_{7}.\n
Essas propriedades ajudam muito em provas curtas: por exemplo, para resolver a\cdot x\equiv b\pmod{7} basta multiplicar ambos os lados pelo inverso de a (quando a\neq0).

Resposta

Tabela de adição em \mathbb{Z}_{7}:
\begin{array}{c|ccccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 \\\\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 \\\\ 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 \\\\ 4 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 5 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 6 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\ \end{array}
Tabela de multiplicação em \mathbb{Z}_{7}:
\begin{array}{c|ccccccc} \cdot & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5 \\ 3 & 0 & 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 0 & 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ 5 & 0 & 5 & 3 & 1 & 6 & 4 & 2 \\ 6 & 0 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \end{array}

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