Se p é um primo, mostre que o inverso de [p-1]_{p} em \mathbb{Z}_{p} é [p-1]_{p}.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que o inverso multiplicativo de [p-1]_{p} no anel (ou corpo) \mathbb{Z}_{p} é ele mesmo, isto é, que o elemento [p-1]_{p} multiplicado por si próprio dá [1]_{p}.
Dados fornecidos: \;p é um primo; o elemento considerado é [p-1]_{p} na classe dos restos módulo \;p.

Passo 2

Vamos recordar o que significa um inverso multiplicativo em \mathbb{Z}_{p}. Um elemento [a]_{p} tem inverso multiplicativo [b]_{p} se, e só se,
[b]_p\cdot[a]_p=[1]_p.
Ou seja, o produto de representantes a\cdot b é congruente a 1 módulo p. Nosso objetivo é encontrar b para a=p-1 e mostrar que b=[p-1]_p.

Passo 3

Uma observação útil e simples: na aritmética módulo p temos
[p-1]_p=[-1]_p,
porque p-1 difere de -1 por um múltiplo de p. Isso significa que trabalhar com [p-1]_p é o mesmo que trabalhar com a classe de -1.

Passo 4

Calculemos o quadrado de p-1 como inteiro e depois reduzimos módulo p. Primeiro a expansão:
(p-1)^2 = p^2 - 2p + 1.
Agora observamos que os termos p^2 e -2p são múltiplos de p, portanto somados dão um múltiplo de p. Logo, módulo p sobra apenas o 1. Em linguagem de congruência:
(p-1)^2 \equiv 1 \pmod{p}.
Alternativamente, usando [p-1]_p=[-1]_p, temos (-1)^2=1, então [p-1]_p^2=[1]_p.

Passo 5

A igualdade [p-1]_p\cdot[p-1]_p=[1]_p mostra exatamente que [p-1]_p é um inverso multiplicativo de si mesmo. Como o inverso multiplicativo, quando existe, é único em \mathbb{Z}_p, concluímos que o inverso de [p-1]_p é [p-1]_p.

Passo 6

Um exemplo numérico curto para fixar: tome p=5. Então p-1=4 e 4\cdot4=16\equiv1\pmod{5}. Portanto [4]_5 é seu próprio inverso. Isso ilustra a regra geral.

Passo 7

Resumo e motivação prática: qualquer classe [-1]_p em \mathbb{Z}_p satisfaz [-1]_p^2=[1]_p, logo [-1]_p é seu próprio inverso. Como [p-1]_p=[-1]_p, a conclusão vale para [p-1]_p. Vai dar certo na prova — lembra que sempre que encontrares um elemento congruente a -1, ele inverte a si mesmo. Força aí!

Resposta

[p-1]_{p}

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