Se
é um primo, mostre que o inverso de
em
é
.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que o inverso multiplicativo de
no anel (ou corpo)
é ele mesmo, isto é, que o elemento
multiplicado por si próprio dá
.
Dados fornecidos: é um primo; o elemento considerado é
na classe dos restos módulo
.
Dados fornecidos:
Passo 2
Vamos recordar o que significa um inverso multiplicativo em
. Um elemento
tem inverso multiplicativo
se, e só se,
Ou seja, o produto de representantes
é congruente a
módulo
. Nosso objetivo é encontrar
para
e mostrar que
.
Passo 3
Uma observação útil e simples: na aritmética módulo
temos
porque
difere de
por um múltiplo de
. Isso significa que trabalhar com
é o mesmo que trabalhar com a classe de
.
Passo 4
Calculemos o quadrado de
como inteiro e depois reduzimos módulo
. Primeiro a expansão:
Agora observamos que os termos
e
são múltiplos de
, portanto somados dão um múltiplo de
. Logo, módulo
sobra apenas o
. Em linguagem de congruência:
Alternativamente, usando
, temos
, então
.
Passo 5
A igualdade
mostra exatamente que
é um inverso multiplicativo de si mesmo. Como o inverso multiplicativo, quando existe, é único em
, concluímos que o inverso de
é
.
Passo 6
Um exemplo numérico curto para fixar: tome
. Então
e
. Portanto
é seu próprio inverso. Isso ilustra a regra geral.
Passo 7
Resumo e motivação prática: qualquer classe
em
satisfaz
, logo
é seu próprio inverso. Como
, a conclusão vale para
. Vai dar certo na prova — lembra que sempre que encontrares um elemento congruente a
, ele inverte a si mesmo. Força aí!