Mostre que as operações de adição e multiplicação de números complexos dadas em (1.1) realmente satisfazem as condições da Definição 1.2.

Passo 1

O enunciado dá as operações sobre pares de reais (os números complexos identificados com pares) como em (1.1). Vou escrever explicitamente essas operações e também listar, de forma clara, todas as condições que precisamos verificar (ou seja, o que a Definição 1.2 exige). Dados:
\text{para quaisquer }(a,b),(c,d)\in\mathbb{R}^2:
(a,b)+(c,d)=(a+c,\; b+d),
(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,\; ad+bc).
As condições que precisamos verificar (o que a Definição 1.2 pede) são as seguintes:
  1. Fechamento: a soma e o produto de quaisquer dois pares em \mathbb{R}^2 está em \mathbb{R}^2.
  2. Comutatividade da adição: (a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b).
  3. Associatividade da adição: (a,b)+\bigl((c,d)+(e,f)\bigr)=\bigl((a,b)+(c,d)\bigr)+(e,f).
  4. Existência de elemento neutro aditivo: existe \mathbf{0} tal que (a,b)+\mathbf{0}=(a,b) para todo (a,b).
  5. Existência de inverso aditivo: para todo (a,b) existe -(a,b) tal que (a,b)+\bigl(-(a,b)\bigr)=\mathbf{0}.
  6. Comutatividade do produto: (a,b)\cdot(c,d)=(c,d)\cdot(a,b).
  7. Associatividade do produto: (a,b)\cdot\bigl((c,d)\cdot(e,f)\bigr)=\bigl((a,b)\cdot(c,d)\bigr)\cdot(e,f).
  8. Existência de elemento neutro multiplicativo: existe \mathbf{1} tal que (a,b)\cdot\mathbf{1}=(a,b) para todo (a,b).
  9. Existência de inverso multiplicativo para elementos não nulos: para (a,b)\neq(0,0) existe (a,b)^{-1} com (a,b)\cdot (a,b)^{-1}=\mathbf{1}.
  10. Distributividade: (a,b)\cdot\bigl((c,d)+(e,f)\bigr)= (a,b)\cdot(c,d)+(a,b)\cdot(e,f).
A partir do Passo 2 começo a verificar cada uma dessas propriedades passo a passo, explicando direitinho cada conta e o porquê.

Passo 2

Fechamento e comutatividade da adição.
Fechamento: Se (a,b),(c,d)\in\mathbb{R}^2, então a+c\in\mathbb{R} e b+d\in\mathbb{R} porque a soma de números reais é real. Logo
(a,b)+(c,d)=(a+c,\;b+d)\in\mathbb{R}^2.
Isso mostra fechamento para a adição.
Comutatividade da adição: Usamos que a soma em \mathbb{R} é comutativa:
(a,b)+(c,d)=(a+c,\;b+d)=(c+a,\;d+b)=(c,d)+(a,b).
Portanto a adição é comutativa.

Passo 3

Associatividade da adição.
Associatividade em \mathbb{R} diz que (a+c)+e=a+(c+e). Vamos aplicar isso coordenada a coordenada. Tome três pares (a,b),(c,d),(e,f). Então
(c,d)+(e,f)=(c+e,\;d+f),
(a,b)+\bigl((c,d)+(e,f)\bigr)=(a,b)+(c+e,\;d+f)=(a+c+e,\; b+d+f).
Por outro lado
(a,b)+(c,d)=(a+c,\;b+d),
\bigl((a,b)+(c,d)\bigr)+(e,f)=(a+c,\;b+d)+(e,f)=(a+c+e,\;b+d+f).
Como as duas expressões dão a mesma coordenada (a+c+e,\;b+d+f), concluímos que a adição é associativa.

Passo 4

Elemento neutro aditivo e inverso aditivo.
Procuramos \mathbf{0}=(x,y) tal que (a,b)+(x,y)=(a,b) para todo (a,b). Pela definição da soma isso entrega
(a+x,\;b+y)=(a,b).
Comparando coordenadas, precisamos de x=0 e y=0. Portanto \mathbf{0}=(0,0) é o elemento neutro aditivo.
Inverso aditivo: Para um (a,b) queremos (u,v) tal que (a,b)+(u,v)=(0,0). Pela definição:
(a+u,\;b+v)=(0,0).
Logo u=-a e v=-b. Portanto o inverso aditivo de (a,b) é -(a,b)=(-a,-b). Verificação rápida:
(a,b)+(-a,-b)=(a-a,\;b-b)=(0,0).

Passo 5

Fechamento e comutatividade do produto.
Fechamento: Se (a,b),(c,d)\in\mathbb{R}^2, então ac-bd e ad+bc são números reais (produto e soma de reais), logo
(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,\;ad+bc)\in\mathbb{R}^2.
Comutatividade do produto: Observe que trocar (a,b) com (c,d) troca ac com ca e bd com db, e ad com cb trocando sinais conforme a fórmula; usando que a multiplicação em \mathbb{R} é comutativa, temos
(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,\;ad+bc)=(ca-db,\;cb+da)=(c,d)\cdot(a,b).
Portanto o produto é comutativo.

Passo 6

Associatividade do produto (o passo mais trabalhoso).
Queremos mostrar que para quaisquer (a,b),(c,d),(e,f) vale
\bigl((a,b)\cdot(c,d)\bigr)\cdot(e,f)=(a,b)\cdot\bigl((c,d)\cdot(e,f)\bigr).
Vou calcular os dois lados e comparar. Primeiro calcule (a,b)\cdot(c,d):
(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,\;ad+bc).
Agora multiplico esse par por (e,f). Usando a regra do produto:
\bigl((ac-bd,\;ad+bc)\bigr)\cdot(e,f)=\bigl((ac-bd)e-(ad+bc)f,\; (ac-bd)f+(ad+bc)e\bigr).
Expandindo coordenada a coordenada:
\text{primeira coordenada}=(ac)e-(bd)e-(ad)f-(bc)f=ace-bde-adf-bcf.
\text{segunda coordenada}=(ac)f-(bd)f+(ad)e+(bc)e=acf-bdf+ade+bce.
Agora o outro lado: primeiro (c,d)\cdot(e,f):
(c,d)\cdot(e,f)=(ce-df,\;cf+de).
Multiplicando (a,b) por esse resultado:
(a,b)\cdot\bigl(ce-df,\;cf+de\bigr)=\bigl(a(ce-df)-b(cf+de),\; a(cf+de)+b(ce-df)\bigr).
Expandindo:
\text{primeira coordenada}=a(ce)-a(df)-b(cf)-b(de)=ace-adf-bcf-bde.
\text{segunda coordenada}=a(cf)+a(de)+b(ce)-b(df)=acf+ade+bce-bdf.
Comparando as coordenadas de ambos os lados vemos que são iguais (mesmos termos, apenas ordem diferente):
primeira coordenada em ambos é ace-adf-bcf-bde (ou reordenada) e segunda coordenada é acf+ade+bce-bdf. Portanto a associatividade do produto vale.
Explicação didática curta: usamos apenas associatividade e comutatividade e distributividade nos reais ao expandir; os resultados coincidem, então a operação definida herda a associatividade.

Passo 7

Elemento neutro multiplicativo.
Procuramos \mathbf{1}=(x,y) tal que (a,b)\cdot(x,y)=(a,b) para todo (a,b). Pela regra do produto isso dá
(ac-bd,\;ad+bc) \quad\text{com }(c,d)=(x,y),
ou seja
(a,b)\cdot(x,y)=(ax-by,\;ay+bx)=(a,b).
Comparando coordenadas precisamos de ax-by=a e ay+bx=b para todo a,b. Tomando a=1,b=0 obtemos x=1. Tomando a=0,b=1 obtemos y=0. Assim \mathbf{1}=(1,0). Verificação:
(a,b)\cdot(1,0)=(a\cdot1-b\cdot0,\; a\cdot0+b\cdot1)=(a,b).

Passo 8

Inverso multiplicativo para elementos não nulos.
Se (a,b)\neq(0,0)\) queremos \((u,v)\) tal que \[(a,b)\cdot(u,v)=(1,0).
Usando a fórmula do produto:
(au-bv,\;av+bu)=(1,0).
Isso dá o sistema de equações em \mathbb{R}:
\begin{cases} au-bv=1,\\[4pt] av+bu=0. \end{cases}
Trata-se de um sistema linear para u\] e \(v. Vou resolver: multiplique a primeira equação por a e a segunda por b e some, para eliminar v:
Primeira \times a: a^2u-abv=a.
Segunda \times b: abv+b^2u=0.
Somando:
a^2u+b^2u=(a^2+b^2)u=a.
Como (a,b)\neq(0,0), temos a^2+b^2>0. Logo
u=\frac{a}{a^2+b^2}.
Para v, podemos multiplicar a primeira equação por b e subtrair a segunda multiplicada por a (ou usar simetria); faço direto: da segunda equação av=-bu, então
v=-\frac{b}{a}u\quad\text{se }a\neq0.
Mas é mais seguro usar expressão simétrica: substituindo u na primeira equação:
a\cdot\frac{a}{a^2+b^2}-b v=1 \implies \frac{a^2}{a^2+b^2}-b v=1.
Então
-bv=1-\frac{a^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2+b^2-a^2}{a^2+b^2}=\frac{b^2}{a^2+b^2}.
Portanto
v=-\frac{b^2}{b(a^2+b^2)}=-\frac{b}{a^2+b^2}.
Assim o inverso multiplicativo de (a,b)\neq(0,0) é
(a,b)^{-1}=\left(\frac{a}{a^2+b^2},\; -\frac{b}{a^2+b^2}\right).
Verificação rápida (multiplicando e usando álgebra dos reais) recupera (1,0). Note que usamos o fato crucial a^2+b^2>0 quando (a,b)\neq(0,0), garantindo que as frações são bem definidas.]

Passo 9

Distributividade do produto sobre a soma.
Queremos mostrar
(a,b)\cdot\bigl((c,d)+(e,f)\bigr)=(a,b)\cdot(c,d)+(a,b)\cdot(e,f).
Calcule o membro esquerdo: (c,d)+(e,f)=(c+e,\;d+f), então
(a,b)\cdot(c+e,\;d+f)=(a(c+e)-b(d+f),\; a(d+f)+b(c+e)).
Expandindo coordenadas:
\text{primeira coord.}=ac+ae-bd-bf,
\text{segunda coord.}=ad+af+bc+be.
Agora calcule o membro direito usando a definição do produto em cada parcela:
(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,\;ad+bc),
(a,b)\cdot(e,f)=(ae-bf,\;af+be).
Somando as duas parcelas (soma coordenada a coordenada):
(ac-bd+ae-bf,\; ad+bc+af+be),
que é exatamente o par mostrado para o membro esquerdo. Portanto a distributividade vale.

Passo 10

Resumo das verificações e observações finais.
Recapitulando, verificamos coordenada a coordenada que:
  • soma e produto fecham em \mathbb{R}^2,
  • adição é comutativa e associativa,
  • existe neutro aditivo (0,0) e inverso aditivo (-a,-b),
  • produto é comutativo e associativo,
  • existe neutro multiplicativo (1,0) e para todo (a,b)\neq(0,0) existe inverso multiplicativo \left(\dfrac{a}{a^2+b^2},-\dfrac{b}{a^2+b^2}\right),
  • produto distribui sobre a soma.
Essas propriedades são exatamente as exigidas na Definição 1.2, logo as operações dadas em (1.1) satisfazem todas as condições pedidas.

Resposta

As operações (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) e (a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,\;ad+bc) satisfazem todas as condições da Definição 1.2: fechamento, comutatividade e associatividade da adição e do produto, existência de neutro aditivo (0,0) e neutro multiplicativo (1,0), existência de inverso aditivo (-a,-b) e inverso multiplicativo \left(\dfrac{a}{a^2+b^2},-\dfrac{b}{a^2+b^2}\right) para (a,b)\neq(0,0), e distributividade do produto sobre a soma.

Exercícios relacionados