Mostre que as operações de adição e multiplicação de números complexos dadas em (1.1) realmente satisfazem as condições da Definição 1.2.
Passo 1
O enunciado dá as operações sobre pares de reais (os números complexos identificados com pares) como em
. Vou escrever explicitamente essas operações e também listar, de forma clara, todas as condições que precisamos verificar (ou seja, o que a Definição 1.2 exige). Dados:
As condições que precisamos verificar (o que a Definição 1.2 pede) são as seguintes:
- Fechamento: a soma e o produto de quaisquer dois pares em
está em . - Comutatividade da adição:
. - Associatividade da adição:
. - Existência de elemento neutro aditivo: existe
tal que para todo . - Existência de inverso aditivo: para todo
existe tal que . - Comutatividade do produto:
. - Associatividade do produto:
. - Existência de elemento neutro multiplicativo: existe
tal que para todo . - Existência de inverso multiplicativo para elementos não nulos: para
existe com . - Distributividade:
.
A partir do Passo 2 começo a verificar cada uma dessas propriedades passo a passo, explicando direitinho cada conta e o porquê.
Passo 2
Fechamento e comutatividade da adição.
Fechamento: Se
, então
e
porque a soma de números reais é real. Logo
Isso mostra fechamento para a adição.
Comutatividade da adição: Usamos que a soma em
é comutativa:
Portanto a adição é comutativa.
Passo 3
Associatividade da adição.
Associatividade em
diz que
. Vamos aplicar isso coordenada a coordenada. Tome três pares
. Então
Por outro lado
Como as duas expressões dão a mesma coordenada
, concluímos que a adição é associativa.
Passo 4
Elemento neutro aditivo e inverso aditivo.
Procuramos
tal que
para todo
. Pela definição da soma isso entrega
Comparando coordenadas, precisamos de
e
. Portanto
é o elemento neutro aditivo.
Inverso aditivo: Para um
queremos
tal que
. Pela definição:
Logo
e
. Portanto o inverso aditivo de
é
. Verificação rápida:
Passo 5
Fechamento e comutatividade do produto.
Fechamento: Se
, então
e
são números reais (produto e soma de reais), logo
Comutatividade do produto: Observe que trocar
com
troca
com
e
com
, e
com
trocando sinais conforme a fórmula; usando que a multiplicação em
é comutativa, temos
Portanto o produto é comutativo.
Passo 6
Associatividade do produto (o passo mais trabalhoso).
Queremos mostrar que para quaisquer
vale
Vou calcular os dois lados e comparar. Primeiro calcule
:
Agora multiplico esse par por
. Usando a regra do produto:
Expandindo coordenada a coordenada:
Agora o outro lado: primeiro
:
Multiplicando
por esse resultado:
Expandindo:
Comparando as coordenadas de ambos os lados vemos que são iguais (mesmos termos, apenas ordem diferente):
primeira coordenada em ambos é (ou reordenada) e segunda coordenada é
. Portanto a associatividade do produto vale.
primeira coordenada em ambos é
Explicação didática curta: usamos apenas associatividade e comutatividade e distributividade nos reais ao expandir; os resultados coincidem, então a operação definida herda a associatividade.
Passo 7
Elemento neutro multiplicativo.
Procuramos
tal que
para todo
. Pela regra do produto isso dá
ou seja
Comparando coordenadas precisamos de
e
para todo
. Tomando
obtemos
. Tomando
obtemos
. Assim
. Verificação:
Passo 8
Inverso multiplicativo para elementos não nulos.
Se
Usando a fórmula do produto:
Isso dá o sistema de equações em
:
Trata-se de um sistema linear para
. Vou resolver: multiplique a primeira equação por
e a segunda por
e some, para eliminar
:
Primeira
:
.
Segunda
:
.
Somando:
Como
, temos
. Logo
Para
, podemos multiplicar a primeira equação por
e subtrair a segunda multiplicada por
(ou usar simetria); faço direto: da segunda equação
, então
Mas é mais seguro usar expressão simétrica: substituindo
na primeira equação:
Então
Portanto
Assim o inverso multiplicativo de
é
Verificação rápida (multiplicando e usando álgebra dos reais) recupera
. Note que usamos o fato crucial
quando
, garantindo que as frações são bem definidas.]
Passo 9
Distributividade do produto sobre a soma.
Queremos mostrar
Calcule o membro esquerdo:
, então
Expandindo coordenadas:
Agora calcule o membro direito usando a definição do produto em cada parcela:
Somando as duas parcelas (soma coordenada a coordenada):
que é exatamente o par mostrado para o membro esquerdo. Portanto a distributividade vale.
Passo 10
Resumo das verificações e observações finais.
Recapitulando, verificamos coordenada a coordenada que:
- soma e produto fecham em
, - adição é comutativa e associativa,
- existe neutro aditivo
e inverso aditivo , - produto é comutativo e associativo,
- existe neutro multiplicativo
e para todo existe inverso multiplicativo , - produto distribui sobre a soma.
Essas propriedades são exatamente as exigidas na Definição 1.2, logo as operações dadas em
satisfazem todas as condições pedidas.
Resposta
As operações
e
satisfazem todas as condições da Definição 1.2: fechamento, comutatividade e associatividade da adição e do produto, existência de neutro aditivo
e neutro multiplicativo
, existência de inverso aditivo
e inverso multiplicativo
para
, e distributividade do produto sobre a soma.