Considere o número real alpha=0,999 ldots Quais das afirmativas abaixo são verdadeiras?
(a) alpha<1
(b) alpha=1
(c) alpha>1

Passo 1

O enunciado nos apresenta o número real
alpha = 0,999ldots
e pede para verificar quais das afirmações abaixo são verdadeiras:
(a) alpha<1, (b) alpha=1, (c) alpha>1.
O conteúdo envolvido é o conceito de soma de uma série geométrica infinita e limite de sequências.

Passo 2

Podemos ver
alpha = 0,999ldots = 0,9 + 0,09 + 0,009 + cdots
que é uma série geométrica de primeiro termo a=0,9 e razão r=0,1. Sabemos que, para |r|<1,
sumk=0^infty a,r^k = a1-r
Aqui, tomando k a partir de 0 com a=0,9 e r=0,1, temos
alpha = 0,91 - 0,1 = 0,90,9 = 1

Passo 3

Como a soma da série é exatamente 1, concluímos que alpha = 1. Logo:
  • (a) alpha<1 é falsa.
  • (b) alpha=1 é verdadeira.
  • (c) alpha>1 é falsa.

Resposta

(b) alpha = 1.

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