Exercício 3 Calcule
por dois métodos: (a) expandindo
pelo teorema do binômio; (b) tomando
. Explique a diferença entre as respostas (a)
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
por dois métodos diferentes: expandindo o integrando pelo Teorema do Binômio e usando a substituição
. O conteúdo principal aqui é integração de polinômios e mudança de variável.
Passo 2
Método (a): expandir
pelo Teorema do Binômio. Temos
Agora integramos termo a termo:
Somando tudo e incluindo a constante de integração
, obtemos
Passo 3
Método (b): usar a substituição
. Então
Substituindo na integral:
Voltando a
:
Passo 4
Comparando as duas respostas notamos que
Logo
As duas antiderivadas diferem apenas pela constante de integração, ou seja,
e
são constantes arbitrárias distintas.
Resposta
(a)
(b)
Ambas representam a mesma família de primitivas, pois diferem só numa constante.
(b)
Ambas representam a mesma família de primitivas, pois diferem só numa constante.