Exercício 3 Calcule integral(2 x+1)^3 d x por dois métodos: (a) expandindo (2 x+1)^3 pelo teorema do binômio; (b) tomando u=2 x+1. Explique a diferença entre as respostas (a) e(b).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral (2x+1)^3,dx
por dois métodos diferentes: expandindo o integrando pelo Teorema do Binômio e usando a substituição u=2x+1. O conteúdo principal aqui é integração de polinômios e mudança de variável.

Passo 2

Método (a): expandir (2x+1)^3 pelo Teorema do Binômio. Temos
(2x+1)^3 = sumk=0^3 binom3k (2x)^kcdot1^3-k = (2x)^3 + 3,(2x)^2 + 3,(2x) + 1 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1
Agora integramos termo a termo:
integral 8x^3,dx = 2x^4, integral 12x^2,dx = 4x^3, integral 6x,dx = 3x^2, integral 1,dx = x
Somando tudo e incluindo a constante de integração C1, obtemos
integral (2x+1)^3,dx = 2x^4 + 4x^3 + 3x^2 + x + C1

Passo 3

Método (b): usar a substituição u = 2x+1. Então
du = 2,dx Longrightarrow dx = tfrac12,du
Substituindo na integral:
integral (2x+1)^3,dx = integral u^3,l(tfrac12,dur) = tfrac12integral u^3,du = tfrac12cdot u^44 + C2 = u^48 + C2
Voltando a x:
integral (2x+1)^3,dx = (2x+1)^48 + C2

Passo 4

Comparando as duas respostas notamos que
(2x+1)^48 = 16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 18 = 2x^4 + 4x^3 + 3x^2 + x + tfrac18
Logo
(2x+1)^48 + C2 = 2x^4 + 4x^3 + 3x^2 + x + l(C2 + tfrac18r)
As duas antiderivadas diferem apenas pela constante de integração, ou seja, C1 e C2+tfrac18 são constantes arbitrárias distintas.

Resposta

(a) 2x^4 + 4x^3 + 3x^2 + x + C1
(b) (2x+1)^48 + C2
Ambas representam a mesma família de primitivas, pois diferem só numa constante.

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