integral d yy^2=-integral sen x d x

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade de integrais separáveis
integral dyy^2 = -integral sin x ,dx
Aqui vamos usar duas ideias de cálculo: 1) regra de potência para integrar y^-2 e 2) integral de sin x.

Passo 2

Para o lado esquerdo reescrevemos
integral dyy^2 = integral y^-2,dy
Pela regra de potência integral y^ndy = y^n+1n+1 (para nneq -1), com n=-2 vem
integral y^-2,dy = y^-1-1 = -y^-1 + C1

Passo 3

No lado direito temos
- integral sin x ,dx
Sabemos que integral sin x,dx = -cos x + C3. Multiplicando por -1
- integral sin x,dx = -l(-cos x + C3r) = cos x + C2

Passo 4

Agora igualamos as duas antiderivadas e juntamos constantes:
-,y^-1 + C1 = cos x + C2
Definindo C = C2-C1, fica
-,y^-1 = cos x + C Longrightarrow 1y = -cos x - C = D - cos x,
onde D=-C é outra constante arbitrária.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y = 1,D - cos x,
Como D é constante, podemos renomear D para C sem perda de generalidade.

Resposta

y = 1,C - cos x,,
onde C é a constante de integração.

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