Considere o número real
alpha=raiz[3]2+raiz5+raiz[3]2-raiz5
[1,5] Mostre que alpha é raiz do polinômio p(x)=x^3+3 x-4;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número real definido por
alpha = raiz[3]2 + raiz5 + raiz[3]2 - raiz5
E precisamos mostrar que esse número alpha é uma raiz do polinômio p(x) = x^3 + 3x - 4. Isso envolve conhecimentos de álgebra, especificamente sobre polinômios e raízes. Vamos precisar calcular alpha^3 e usar propriedades de potências para chegar à conclusão.

Passo 2

Vamos começar calculando alpha^3. Para isso, usamos a fórmula do cubo da soma:
(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)
Aqui, a = raiz[3]2 + raiz5 e b = raiz[3]2 - raiz5. Então,
alpha^3 = (raiz[3]2 + raiz5 + raiz[3]2 - raiz5)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)

Passo 3

Agora, calculamos a^3 e b^3:
a^3 = 2 + raiz5
b^3 = 2 - raiz5
Somando a^3 e b^3:
a^3 + b^3 = (2 + raiz5) + (2 - raiz5) = 4

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto ab:
ab = raiz[3]2 + raiz5 cdot raiz[3]2 - raiz5
Podemos multiplicar os termos dentro das raízes:
(2 + raiz5)(2 - raiz5) = 4 - (raiz5)^2 = 4 - 5 = -1
Então,
ab = raiz[3]-1 = -1

Passo 5

Agora, substituímos os valores encontrados na expressão de alpha^3:
alpha^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = 4 + 3(-1)(alpha) = 4 - 3alpha
Rearranjando a equação:
alpha^3 + 3alpha - 4 = 0
Isso mostra que alpha satisfaz a equação p(x) = x^3 + 3x - 4.

Resposta

Assim, alpha é realmente uma raiz do polinômio p(x) = x^3 + 3x - 4.

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