( 2,0 pontos) Determine o centro e o raio da circunferência que é a interseção do plano
com a esfera
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro e o raio da circunferência que resulta da interseção de um plano com uma esfera. Para isso, vamos precisar entender de geometria espacial, especificamente sobre esferas, planos e a interseção entre eles. Vamos usar fórmulas de distância entre pontos e planos, além do Teorema de Pitágoras para determinar o raio da circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro e o raio da esfera. A equação da esfera é dada por:
Comparando com a forma padrão da equação da esfera
, vemos que o centro da esfera é
e o raio
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a distância do centro da esfera ao plano. A equação do plano é:
A fórmula para calcular a distância
de um ponto
a um plano
é:
Primeiro, reescrevemos a equação do plano para a forma
:
Assim,
,
,
e
.
Substituindo os valores do centro
na fórmula da distância:
Portanto, a distância do centro da esfera ao plano é
.
Passo 4
Sabendo que a interseção entre o plano e a esfera é uma circunferência, podemos encontrar o raio dessa circunferência usando o Teorema de Pitágoras no espaço tridimensional. A relação é:
Onde
é o raio da circunferência de interseção,
é o raio da esfera e
é a distância do centro da esfera ao plano.
Substituindo os valores que já temos:
Então, o raio da circunferência é
.
Passo 5
Para encontrar o centro da circunferência, precisamos projetar o centro da esfera sobre o plano. Isso significa mover o ponto
na direção perpendicular ao plano até ele atingir o plano.
A direção perpendicular ao plano
é o vetor normal do plano, que é
.
Usamos a fórmula da projeção para encontrar o ponto
no plano:
Onde
é o módulo do vetor normal.
Calculando o módulo de
:
Agora, substituindo os valores:
Então, o centro da circunferência é
.
Resposta
O centro da circunferência é
e o raio é
.