( 2,0 pontos) Determine o centro e o raio da circunferência que é a interseção do plano 2 x+y+2 z=5 com a esfera (x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro e o raio da circunferência que resulta da interseção de um plano com uma esfera. Para isso, vamos precisar entender de geometria espacial, especificamente sobre esferas, planos e a interseção entre eles. Vamos usar fórmulas de distância entre pontos e planos, além do Teorema de Pitágoras para determinar o raio da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro e o raio da esfera. A equação da esfera é dada por:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 4
Comparando com a forma padrão da equação da esfera (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2, vemos que o centro da esfera é C(1, 2, -1) e o raio r = raiz4 = 2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a distância do centro da esfera ao plano. A equação do plano é:
2x + y + 2z = 5
A fórmula para calcular a distância d de um ponto P(x0, y0, z0) a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Primeiro, reescrevemos a equação do plano para a forma Ax + By + Cz + D = 0:
2x + y + 2z - 5 = 0
Assim, A = 2, B = 1, C = 2 e D = -5.
Substituindo os valores do centro C(1, 2, -1) na fórmula da distância:
d = |2(1) + 1(2) + 2(-1) - 5|raiz2^2 + 1^2 + 2^2 = |2 + 2 - 2 - 5|raiz4 + 1 + 4 = |-3|raiz9 = 33 = 1
Portanto, a distância do centro da esfera ao plano é d = 1.

Passo 4

Sabendo que a interseção entre o plano e a esfera é uma circunferência, podemos encontrar o raio dessa circunferência usando o Teorema de Pitágoras no espaço tridimensional. A relação é:
R = raizr^2 - d^2
Onde R é o raio da circunferência de interseção, r é o raio da esfera e d é a distância do centro da esfera ao plano.
Substituindo os valores que já temos:
R = raiz2^2 - 1^2 = raiz4 - 1 = raiz3 approx 1,732
Então, o raio da circunferência é raiz3.

Passo 5

Para encontrar o centro da circunferência, precisamos projetar o centro da esfera sobre o plano. Isso significa mover o ponto C(1, 2, -1) na direção perpendicular ao plano até ele atingir o plano.
A direção perpendicular ao plano 2x + y + 2z = 5 é o vetor normal do plano, que é n = (2, 1, 2).
Usamos a fórmula da projeção para encontrar o ponto P no plano:
P = C - d cdot n||n||
Onde ||n|| é o módulo do vetor normal.
Calculando o módulo de n:
||n|| = raiz2^2 + 1^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3
Agora, substituindo os valores:
P = (1, 2, -1) - 1 cdot ( 23, 13, 23 ) = (1 - 23, 2 - 13, -1 - 23) = (13, 53, -53)
Então, o centro da circunferência é P(13, 53, -53).

Resposta

O centro da circunferência é (13,, 53,, -53) e o raio é raiz3.

Exercícios relacionados