Considere os números 10,14 , 18 e 30 .
(a) Qual a média e a variância desses números?
(b) Sabendo-se que os pesos para cada número são, respectivamente, 1, 3, 2 e 4, construa o conjunto de dados que represente esses valores.
© Com os dados do ítem (b), qual é a média aritmética? Seria similar a alguma outra média? Qual?
(a) Qual a média e a variância desses números?
(b) Sabendo-se que os pesos para cada número são, respectivamente, 1, 3, 2 e 4, construa o conjunto de dados que represente esses valores.
© Com os dados do ítem (b), qual é a média aritmética? Seria similar a alguma outra média? Qual?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício tá pedindo três coisas com quatro números: 10, 14, 18 e 30.
Conteúdo: Estatística básica – média, variância e média ponderada.
O que vamos precisar:
• Saber como calcular a média aritmética (simples e ponderada).
• Saber o que é variância (populacional).
• Entender que “peso” equivale a “frequência” de cada valor.
Conteúdo: Estatística básica – média, variância e média ponderada.
O que vamos precisar:
• Saber como calcular a média aritmética (simples e ponderada).
• Saber o que é variância (populacional).
• Entender que “peso” equivale a “frequência” de cada valor.
Passo 2
(a) Média e variância
- Primeiro a média aritmética simples:
\bar x = \frac{10 + 14 + 18 + 30}{4}
\bar x = \frac{72}{4} = 18 - Agora a variância populacional:
\displaystyle \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2
Vamos calcular cada desvio:
(10-18)^2 = (-8)^2 = 64
(14-18)^2 = (-4)^2 = 16
(18-18)^2 = 0^2 = 0
(30-18)^2 = 12^2 = 144
Soma dos quadrados = 64 + 16 + 0 + 144 = 224
Então
\sigma^2 = \frac{224}{4} = 56
Passo 3
(b) Construir o conjunto com pesos 1, 3, 2 e 4
Peso é frequência, então a gente “repete” cada número de acordo com seu peso:
– 10 aparece 1 vez
– 14 aparece 3 vezes
– 18 aparece 2 vezes
– 30 aparece 4 vezes
O conjunto fica:
{,10,;14,14,14,;18,18,;30,30,30,30}
Peso é frequência, então a gente “repete” cada número de acordo com seu peso:
– 10 aparece 1 vez
– 14 aparece 3 vezes
– 18 aparece 2 vezes
– 30 aparece 4 vezes
O conjunto fica:
{,10,;14,14,14,;18,18,;30,30,30,30}
Passo 4
© Média aritmética desse novo conjunto
- Soma ponderada (ou soma simples do conjunto):
10·1 + 14·3 + 18·2 + 30·4 = 10 + 42 + 36 + 120 = 208 - Total de observações = 1 + 3 + 2 + 4 = 10
- Média aritmética = \displaystyle \frac{208}{10} = 20{,}8
Isso é exatamente a média ponderada dos valores originais:
\displaystyle \bar x_{pond} = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i} = 20{,}8
Resposta
(a) \bar x = 18 e \sigma^2 = 56
(b) {10, 14,14,14, 18,18, 30,30,30,30}
© Média = 20,8, que coincide com a média ponderada dos números originais.
(b) {10, 14,14,14, 18,18, 30,30,30,30}
© Média = 20,8, que coincide com a média ponderada dos números originais.