Considere os números complexos:
Determine:
Passo 1
O enunciado nos dá dois números complexos em forma exponencial (forma polar com
no expoente):
O que se pede é calcular a razão
Vou listar as informações explícitas que temos:
- O módulo de
é e seu argumento é . - O módulo de
é e seu argumento é .
Passo 2
Relembrando as propriedades úteis (explicação didática):
- Se um número complexo está escrito como
, então seu módulo é e seu argumento é . - Potência: para inteiro
,
Isto vem de multiplicar
por si mesmo
vezes: os módulos multiplicam e os ângulos somam.
- Divisão: para
e com ,
Ou seja, divide-se os módulos e subtrai-se os argumentos.
Usaremos essas duas regras: primeiro calcular
e depois dividir
por esse resultado.
Passo 3
Calcular
aplicando a fórmula de potência:
Passo 4
Agora divide-se
por
usando a fórmula de divisão:
Simplificando o módulo:
Calculando a diferença de argumentos (colocando em comum denominador):
Portanto, em forma exponencial (polar):
Observação amigável: este ângulo
está no intervalo
, então já é um argumento principal aceitável. Poderia também ser escrito adicionando
se preferir um ângulo positivo.
Passo 5
Converter para a forma retangular (mais prática para ver os componentes reais e imaginários). Primeiro use as fórmulas de cosseno e seno para
:
- Usando
com , :
- Usando
:
Como o ângulo no expoente é negativo, temos
e
.
Agora escrevemos a forma retangular:
Substituindo os valores exatos de cosseno e seno:
Fatorando
dentro:
Ou de forma compacta: