Considere os números complexos:
\begin{aligned} & z_{1}=2 e^{j \pi / 4} \\\ & z_{2}=8 e^{j \pi / 3} \end{aligned}
Determine:
z_{1} / z_{2}^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá dois números complexos em forma exponencial (forma polar com j no expoente):
z_{1}=2 e^{j \pi / 4}, \qquad z_{2}=8 e^{j \pi / 3}.
O que se pede é calcular a razão
\frac{z_{1}}{z_{2}^{2}}.
Vou listar as informações explícitas que temos:
  • O módulo de z_{1} é 2 e seu argumento é \pi/4.
  • O módulo de z_{2} é 8 e seu argumento é \pi/3.

Passo 2

Relembrando as propriedades úteis (explicação didática):
  • Se um número complexo está escrito como z = r e^{j\theta}, então seu módulo é r e seu argumento é \theta.
  • Potência: para inteiro n,
\left(r e^{j\theta}\right)^{n}=r^{n} e^{j n\theta}.
Isto vem de multiplicar r e^{j\theta} por si mesmo n vezes: os módulos multiplicam e os ângulos somam.
  • Divisão: para z_a = r_a e^{j\theta_a} e z_b = r_b e^{j\theta_b} com r_b\neq0,
\frac{z_a}{z_b}=\frac{r_a}{r_b} e^{j(\theta_a-\theta_b)}.
Ou seja, divide-se os módulos e subtrai-se os argumentos.
Usaremos essas duas regras: primeiro calcular z_{2}^{2} e depois dividir z_{1} por esse resultado.

Passo 3

Calcular z_{2}^{2} aplicando a fórmula de potência:
z_{2}^{2}=\left(8 e^{j \pi / 3}\right)^{2}=8^{2} e^{j 2\cdot (\pi/3)}=64 e^{j 2\pi / 3}.

Passo 4

Agora divide-se z_{1} por z_{2}^{2} usando a fórmula de divisão:
\frac{z_{1}}{z_{2}^{2}}=\frac{2 e^{j \pi / 4}}{64 e^{j 2\pi / 3}}=\frac{2}{64} e^{j\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2\pi}{3}\right)}.
Simplificando o módulo:
\frac{2}{64}=\frac{1}{32}.
Calculando a diferença de argumentos (colocando em comum denominador):
\frac{\pi}{4}-\frac{2\pi}{3}=\frac{3\pi}{12}-\frac{8\pi}{12}=-\frac{5\pi}{12}.
Portanto, em forma exponencial (polar):
\frac{z_{1}}{z_{2}^{2}}=\frac{1}{32} e^{j\left(-\frac{5\pi}{12}\right)}.
Observação amigável: este ângulo -\dfrac{5\pi}{12} está no intervalo (-\pi,\pi], então já é um argumento principal aceitável. Poderia também ser escrito adicionando 2\pi se preferir um ângulo positivo.

Passo 5

Converter para a forma retangular (mais prática para ver os componentes reais e imaginários). Primeiro use as fórmulas de cosseno e seno para \dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}:
  • Usando \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b com a=\pi/4, b=\pi/6:
\cos\!\left(\frac{5\pi}{12}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right) =\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6} =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.
  • Usando \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b:
\sin\!\left(\frac{5\pi}{12}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.
Como o ângulo no expoente é negativo, temos \cos\!\left(-\dfrac{5\pi}{12}\right)=\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) e \sin\!\left(-\dfrac{5\pi}{12}\right)=-\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right).
Agora escrevemos a forma retangular:
\frac{z_{1}}{z_{2}^{2}}=\frac{1}{32}\left(\cos\!\left(-\frac{5\pi}{12}\right)+j\sin\!\left(-\frac{5\pi}{12}\right)\right).
Substituindo os valores exatos de cosseno e seno:
\frac{z_{1}}{z_{2}^{2}}=\frac{1}{32}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+j\left(-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)\right).
Fatorando 1/4 dentro:
\frac{z_{1}}{z_{2}^{2}}=\frac{1}{128}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)-j\frac{1}{128}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right).
Ou de forma compacta:
\frac{z_{1}}{z_{2}^{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{128}-j\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{128}.

Resposta

\dfrac{1}{32} e^{j\left(-\dfrac{5\pi}{12}\right)}
\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{128}-j\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{128}

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