Seja
uma função complexa de uma variável real
:
a) Represente
na forma cartesiana e determine sua parte real e sua parte imaginária;
b) Represente
na forma polar e determine seu módulo
e seu argumento
.
b) Represente
Passo 1
O enunciado dá a função complexa
dependente de uma variável real
:
O que se pede:
- (a) representar
na forma cartesiana e determinar sua parte real e sua parte imaginária; - (b) representar
na forma polar e determinar seu módulo e seu argumento .
Passo 2
Estratégia para achar a forma cartesiana (sem pular etapas): multiplicar numerador e denominador pela conjugada do denominador para obter um denominador real, então separar a parte real e a imaginária. Lembrete prático: a conjugada de
é
. Vou aplicar isso passo a passo.
Multiplicando por
no numerador e denominador:
Calculo do denominador (produto com a conjugada):
Esse é um número real e positivo para todo
.
Passo 3
Agora expando o numerador cuidadosamente, termo a termo:
Avalio cada pedaço:
Somando as partes reais e as partes imaginárias:
- parte real do numerador:
; - parte imaginária do numerador:
, ou seja .
Portanto o numerador é
. Dividindo pelo denominador real
obtemos a forma cartesiana:
Daí explicitamente:
Passo 4
Agora a forma polar. Lembretes teóricos rápidos e úteis:
- Para qualquer número complexo
, o módulo é e o argumento (ângulo) pode ser tomado como (ou quando ). - Para razão de complexos vale
e . Isso torna a vida mais simples aqui porque podemos usar módulo e ângulo do numerador e do denominador separadamente.
Numerador:
. O seu módulo é
e seu argumento é
(observe que
, então a fórmula arctan funciona sem ambiguidades de quadrante).
Denominador:
. O seu módulo é
e seu argumento é
(novamente
).
Assim o módulo de
é
E o argumento é a diferença dos argumentos:
Observação prática: alternativamente pode-se obter o argumento a partir da forma cartesiana usando
que reduz à mesma expressão (porque os denominadores iguais cancelam no atan2).
Passo 5
Exemplo numérico rápido para fixar (escolhendo
):
- Pela forma cartesiana:
; . - Módulo:
. - Argumento:
rad (aprox. ), que coincide com .
Resposta
(a)
(b)