Seja X(\omega) uma função complexa de uma variável real \omega :
X(\omega)=\frac{2+j \omega}{3+j 4 \omega}
a) Represente X(\omega) na forma cartesiana e determine sua parte real e sua parte imaginária;
b) Represente X(\omega) na forma polar e determine seu módulo |X(\omega)| e seu argumento \angle X(\omega).

Passo 1

O enunciado dá a função complexa X(\omega) dependente de uma variável real \omega:
X(\omega)=\frac{2+j \omega}{3+j 4 \omega}.
O que se pede:
  • (a) representar X(\omega) na forma cartesiana e determinar sua parte real e sua parte imaginária;
  • (b) representar X(\omega) na forma polar e determinar seu módulo |X(\omega)| e seu argumento \angle X(\omega).

Passo 2

Estratégia para achar a forma cartesiana (sem pular etapas): multiplicar numerador e denominador pela conjugada do denominador para obter um denominador real, então separar a parte real e a imaginária. Lembrete prático: a conjugada de 3+j4\omega é 3-j4\omega. Vou aplicar isso passo a passo.
Multiplicando por 3-j4\omega no numerador e denominador:
X(\omega)=\frac{(2+j\omega)(3-j4\omega)}{(3+j4\omega)(3-j4\omega)}.
Calculo do denominador (produto com a conjugada):
(3+j4\omega)(3-j4\omega)=3^2+(4\omega)^2=9+16\omega^2.
Esse é um número real e positivo para todo \omega.

Passo 3

Agora expando o numerador cuidadosamente, termo a termo:
(2+j\omega)(3-j4\omega)=2\cdot 3 + 2\cdot(-j4\omega) + j\omega\cdot 3 + j\omega\cdot(-j4\omega).
Avalio cada pedaço:
2\cdot 3 = 6,
2\cdot(-j4\omega) = -j8\omega,
j\omega\cdot 3 = j3\omega,
j\omega\cdot(-j4\omega) = -j^2 4\omega^2 = -(-1)4\omega^2 = 4\omega^2.
Somando as partes reais e as partes imaginárias:
  • parte real do numerador: 6 + 4\omega^2 = 4\omega^2 + 6;
  • parte imaginária do numerador: -8\omega + 3\omega = -5\omega, ou seja -j5\omega.
Portanto o numerador é 4\omega^2+6 - j5\omega. Dividindo pelo denominador real 9+16\omega^2 obtemos a forma cartesiana:
X(\omega)=\frac{4\omega^2+6}{9+16\omega^2} + j\left(-\frac{5\omega}{9+16\omega^2}\right).
Daí explicitamente:
\operatorname{Re}\{X(\omega)\}=\frac{4\omega^2+6}{9+16\omega^2}, \qquad \operatorname{Im}\{X(\omega)\}=-\frac{5\omega}{9+16\omega^2}.

Passo 4

Agora a forma polar. Lembretes teóricos rápidos e úteis:
  • Para qualquer número complexo z=a+j b, o módulo é |z|=\sqrt{a^2+b^2} e o argumento (ângulo) pode ser tomado como \angle z=\operatorname{atan2}(b,a) (ou \arctan(b/a) quando a>0).
  • Para razão de complexos vale |z_1/z_2|=|z_1|/|z_2| e \angle(z_1/z_2)=\angle z_1-\angle z_2. Isso torna a vida mais simples aqui porque podemos usar módulo e ângulo do numerador e do denominador separadamente.
Numerador: 2+j\omega. O seu módulo é \sqrt{2^2+\omega^2}=\sqrt{4+\omega^2} e seu argumento é \arctan\!\left(\dfrac{\omega}{2}\right) (observe que 2>0, então a fórmula arctan funciona sem ambiguidades de quadrante).
Denominador: 3+j4\omega. O seu módulo é \sqrt{3^2+(4\omega)^2}=\sqrt{9+16\omega^2} e seu argumento é \arctan\!\left(\dfrac{4\omega}{3}\right) (novamente 3>0).
Assim o módulo de X(\omega) é
|X(\omega)|=\frac{\sqrt{4+\omega^2}}{\sqrt{9+16\omega^2}} =\sqrt{\frac{4+\omega^2}{9+16\omega^2}}.
E o argumento é a diferença dos argumentos:
\angle X(\omega)=\arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right)-\arctan\!\left(\frac{4\omega}{3}\right).
Observação prática: alternativamente pode-se obter o argumento a partir da forma cartesiana usando
\angle X(\omega)=\operatorname{atan2}\!\left(\operatorname{Im}\{X(\omega)\},\operatorname{Re}\{X(\omega)\}\right) =\operatorname{atan2}\!\left(-\dfrac{5\omega}{9+16\omega^2},\dfrac{4\omega^2+6}{9+16\omega^2}\right),
que reduz à mesma expressão (porque os denominadores iguais cancelam no atan2).

Passo 5

Exemplo numérico rápido para fixar (escolhendo \omega=1):
  • Pela forma cartesiana: \operatorname{Re}= \dfrac{4\cdot1^2+6}{9+16\cdot1^2}=\dfrac{10}{25}=0,4; \operatorname{Im}= -\dfrac{5\cdot1}{25}=-0,2.
  • Módulo: |X(1)|=\dfrac{\sqrt{4+1}}{\sqrt{9+16}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\approx 0,4472.
  • Argumento: \angle X(1)=\arctan\!\left(\dfrac{1}{2}\right)-\arctan\!\left(\dfrac{4}{3}\right)\approx 0{,}46365-0{,}92730\approx -0{,}46365 rad (aprox. -26{,}565^\circ), que coincide com \operatorname{atan2}(-0{,}2,0{,}4).

Resposta

(a) X(\omega)=\dfrac{4\omega^2+6}{9+16\omega^2} + j\!\left(-\dfrac{5\omega}{9+16\omega^2}\right);\quad \operatorname{Re}\{X(\omega)\}=\dfrac{4\omega^2+6}{9+16\omega^2};\quad \operatorname{Im}\{X(\omega)\}=-\dfrac{5\omega}{9+16\omega^2}.
(b) |X(\omega)|=\dfrac{\sqrt{4+\omega^2}}{\sqrt{9+16\omega^2}}=\sqrt{\dfrac{4+\omega^2}{9+16\omega^2}};\quad \angle X(\omega)=\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{2}\right)-\arctan\!\left(\dfrac{4\omega}{3}\right).

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