Considere os números complexos:
Determine:
Passo 1
O enunciado dá os números complexos (peguei estes dados do enunciado):
A pergunta é: determinar
, ou seja, encontrar as raízes cúbicas de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O módulo de
é . - O argumento (ângulo) de
é .
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática, passo a passo):
- Se um número complexo está em forma polar como
com e um argumento, e queremos encontrar todas as -ésimas raízes de (ou seja, todos tais que ), escreve-se também em forma polar:
- Impondo
obtemos e para algum inteiro (o termo aparece porque os argumentos são determinados módulo ). - Daí:
- Para obter todas as raízes distintas basta tomar os valores
. Esses são exatamente os valores distintos, espaçados uniformemente em por . - No nosso caso
. Aplicarei essa fórmula com e .
Passo 3
Aplicando a fórmula com
e
:
Os argumentos das raízes são
Portanto as três raízes cúbicas são
Passo 4
Vou escrever explicitamente cada raiz (forma polar/exponencial e forma trigonométrica) e também dar aproximações numéricas para conferência:
- Para
:
Aproximação numérica:
- Para
:
Aproximação numérica:
- Para
:
Nota:
é congruente a
módulo
, então pode-se também escrever
.
Aproximação numérica:
Aproximação numérica: