Considere os números complexos:
\begin{aligned} & z_{1}=2 e^{j \pi / 4} \\\ & z_{2}=8 e^{j \pi / 3} \end{aligned}
Determine:
\sqrt[3]{z_{2}}

Passo 1

O enunciado dá os números complexos (peguei estes dados do enunciado):
z_{1}=2 e^{j \pi / 4},\qquad z_{2}=8 e^{j \pi / 3}.
A pergunta é: determinar \sqrt[3]{z_{2}}, ou seja, encontrar as raízes cúbicas de z_{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O módulo de z_{2} é r=8.
  • O argumento (ângulo) de z_{2} é \theta=\pi/3.
    A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática, passo a passo):
  • Se um número complexo está em forma polar como \,z = r e^{j\theta}\, com r>0 e \theta um argumento, e queremos encontrar todas as n-ésimas raízes de z (ou seja, todos w tais que w^{n}=z), escreve-se w também em forma polar:
w = \rho e^{j\varphi}.
  • Impondo w^{n}=z obtemos \rho^{n}=r e n\varphi=\theta+2\pi m para algum inteiro m (o termo 2\pi m aparece porque os argumentos são determinados módulo 2\pi).
  • Daí:
\rho = r^{1/n}, \qquad \varphi = \frac{\theta+2\pi m}{n}.
  • Para obter todas as raízes distintas basta tomar os valores m=0,1,\dots,n-1. Esses são exatamente os n valores distintos, espaçados uniformemente em [0,2\pi) por \tfrac{2\pi}{n}.
  • No nosso caso n=3. Aplicarei essa fórmula com r=8 e \theta=\pi/3.

Passo 3

Aplicando a fórmula com r=8 e n=3:
\rho = 8^{1/3}=2.
Os argumentos das raízes são
\varphi_{k}=\frac{\theta+2\pi k}{3}=\frac{\pi/3 + 2\pi k}{3}=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}, \qquad k=0,1,2.
Portanto as três raízes cúbicas são
w_{k}=2\,e^{j\left(\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\right)},\qquad k=0,1,2.

Passo 4

Vou escrever explicitamente cada raiz (forma polar/exponencial e forma trigonométrica) e também dar aproximações numéricas para conferência:
  • Para k=0:
w_{0}=2 e^{j\pi/9}=2\big(\cos(\pi/9)+j\sin(\pi/9)\big).
Aproximação numérica:
w_{0}\approx 2\big(0{,}9396926 + j\,0{,}3420201\big)=1{,}8793852 + j\,0{,}6840402.
  • Para k=1:
w_{1}=2 e^{j( \pi/9 + 2\pi/3)}=2 e^{j7\pi/9}=2\big(\cos(7\pi/9)+j\sin(7\pi/9)\big).
Aproximação numérica:
w_{1}\approx 2\big(-0{,}7660444 + j\,0{,}6427876\big)=-1{,}5320888 + j\,1{,}2855752.
  • Para k=2:
w_{2}=2 e^{j( \pi/9 + 4\pi/3)}=2 e^{j13\pi/9}=2\big(\cos(13\pi/9)+j\sin(13\pi/9)\big).
Nota: 13\pi/9 é congruente a -5\pi/9 módulo 2\pi, então pode-se também escrever w_{2}=2 e^{-j5\pi/9}.
Aproximação numérica:
w_{2}\approx 2\big(-0{,}1736482 - j\,0{,}9848078\big)=-0{,}3472964 - j\,1{,}9696156.

Resposta

2 e^{j\pi/9}
2 e^{j7\pi/9}
2 e^{j13\pi/9}

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