Considere os números complexos (\mathrm{z} 1=3+2 \mathrm{i}) e (\mathrm{z} 2=1 - 4i). O valor de (z1)*( z2) é:
a) (11-10 \mathrm{i})
b) (-5+10 \mathrm{i})
c) (7-10 \mathrm{i})
d) (-5-10 \mathrm{i})

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos e pede o produto entre eles. As informações fornecidas são:
\mathrm{z}_1 = 3 + 2\mathrm{i} e \mathrm{z}_2 = 1 - 4\mathrm{i}.
A pergunta é: qual é o valor de \mathrm{z}_1 \cdot \mathrm{z}_2? Foi fornecida uma lista de alternativas para escolher.

Passo 2

Como vamos multiplicar números complexos? Trate cada número complexo como um binômio na forma a+b\mathrm{i}. Para multiplicar dois binômios usamos a regra distributiva (FOIL: First, Outer, Inner, Last). Lembre que a unidade imaginária satisfaz \mathrm{i}^2 = -1. Vou aplicar isso passo a passo para não sobrar dúvida.

Passo 3

Escrevemos o produto e distribuímos os termos:
\mathrm{z}_1\cdot \mathrm{z}_2 = (3+2\mathrm{i})(1-4\mathrm{i}).
Agora aplicamos a distributiva (multiplicando cada termo do primeiro pelos termos do segundo):
(3+2\mathrm{i})(1-4\mathrm{i}) = 3\cdot 1 + 3\cdot(-4\mathrm{i}) + 2\mathrm{i}\cdot 1 + 2\mathrm{i}\cdot(-4\mathrm{i}).

Passo 4

Calculemos cada produto separado:
3\cdot 1 = 3,
3\cdot(-4\mathrm{i}) = -12\mathrm{i},
2\mathrm{i}\cdot 1 = 2\mathrm{i},
2\mathrm{i}\cdot(-4\mathrm{i}) = -8\mathrm{i}^2.
Agora usamos \mathrm{i}^2 = -1 no último termo:
-8\mathrm{i}^2 = -8(-1) = 8.

Passo 5

Somando as partes reais e as partes imaginárias:
parte real: 3 + 8 = 11,
parte imaginária: -12\mathrm{i} + 2\mathrm{i} = -10\mathrm{i}.
Logo
\mathrm{z}_1\cdot \mathrm{z}_2 = 11 - 10\mathrm{i}.
Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a) 11-10\mathrm{i}

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