Considere os números complexos:
z1=5+3 i, z2=-2+9 i, z3=3 e^i pi / 4
Encontre a forma polar de z2.

Passo 1

A questão pede para encontrar a forma polar do número complexo z2 = -2 + 9i. Para isso a gente vai precisar calcular o módulo (distância até a origem) e o argumento (ângulo que o vetor faz com o eixo real) de z2.

Passo 2

O módulo de um número complexo x+ yi é dado por r = raizx^2 + y^2. Aqui temos x = -2 e y = 9, então
r = raiz(-2)^2 + 9^2 = raiz4 + 81 = raiz85

Passo 3

O argumento theta é calculado pela fórmula theta = arctanl(tfracyxr), mas atenção: x é negativo e y é positivo, então z2 está no segundo quadrante. Assim,
theta = arctanl(9-2r) + pi = -arctanl(92r) + pi = pi - arctanl(92r)

Passo 4

Com módulo e argumento, podemos escrever a forma polar no formato exponencial: z = r,e^itheta. Aplicando ao nosso número:

Resposta

z2 = raiz85,e^,il(pi - arctan(tfrac92)r)

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