Resolva o seguinte PVI pelo método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
Este PVI é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial de grau 1. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para resolver.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada. A equação característica é
cuja solução é obtida fatorando ou pela fórmula de Bhaskara, dando raízes r=1 e r=3. Assim, a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular. Como o termo do lado direito é 4t+2 (polinomial de grau 1) e 0 não é raiz da característica, tentamos
Calculamos suas derivadas:
Passo 4
Substituindo na equação original:
Igualando a 4t+2, obtemos o sistema
Passo 5
Resolvendo para A e B: de
vem
. Substituindo em
temos
Portanto
Passo 6
A solução geral é
Passo 7
Para determinar C₁ e C₂, usamos as condições iniciais. Primeiro
Em seguida, derivando,
logo
Passo 8
Resolvendo o sistema
subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
e então
Passo 9
Com C₁ e C₂ encontrados, temos a solução completa do PVI.