Resolva o seguinte PVI pelo método dos coeficientes indeterminados:
y^prime prime-4 y^prime+3 y=4 t+7-5, y(0)=2, y^prime(0)=3

Passo 1

Este PVI é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial de grau 1. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para resolver.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada. A equação característica é
r^2-4r+3=0
cuja solução é obtida fatorando ou pela fórmula de Bhaskara, dando raízes r=1 e r=3. Assim, a solução homogênea é
yh(t)=C1e^t+C2e^3t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular. Como o termo do lado direito é 4t+2 (polinomial de grau 1) e 0 não é raiz da característica, tentamos
yp(t)=At+B
Calculamos suas derivadas: yp'=A e yp''=0.

Passo 4

Substituindo na equação original:
yp''-4yp'+3yp=0-4A+3(At+B)=3A,t+(3B-4A)
Igualando a 4t+2, obtemos o sistema
3A=4,
3B-4A=2

Passo 5

Resolvendo para A e B: de 3A=4 vem A=4/3. Substituindo em 3B-4A=2 temos
3B-tfrac163=2implies3B=tfrac223implies B=tfrac229
Portanto
yp(t)=tfrac43t+tfrac229

Passo 6

A solução geral é
y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e^t+C2e^3t+tfrac43t+tfrac229

Passo 7

Para determinar C₁ e C₂, usamos as condições iniciais. Primeiro
y(0)=C1+C2+tfrac229=2implies C1+C2=-tfrac49
Em seguida, derivando,
y'(t)=C1e^t+3C2e^3t+tfrac43,
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y'(0)=C1+3C2+tfrac43=3implies C1+3C2=tfrac53

Passo 8

Resolvendo o sistema
C1+C2=-tfrac49, C1+3C2=tfrac53,
subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
2C2=tfrac199implies C2=tfrac1918,
e então
C1=-tfrac49-tfrac1918=-tfrac32

Passo 9

Com C₁ e C₂ encontrados, temos a solução completa do PVI.

Resposta

y(t)=-tfrac32e^t+tfrac1918e^3t+tfrac43t+tfrac229

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