Considere números inteiros entre 1 e 1000.
(a) Quantos são divisíveis por 3?
(b) Quantos são divisíveis por 7?
(c) Quantos são divisíveis por 3 ou 7?
[Um número é divisível por outro quando o resto da divisão entre os dois é igual a zero.]

Passo 1

O enunciado pede que contemos quantos inteiros de 1 a 1000 são divisíveis por 3, por 7 e por “3 ou 7”. O conteúdo envolve contagem de múltiplos usando a função piso e o princípio da inclusão-exclusão para unir conjuntos.

Passo 2

Para achar quantos são divisíveis por 3, usamos que o número de múltiplos de 3 até 1000 é
\left\lfloor \frac{1000}{3} \right\rfloor = 333.

Passo 3

Para achar quantos são divisíveis por 7, usamos que o número de múltiplos de 7 até 1000 é
\left\lfloor \frac{1000}{7} \right\rfloor = 142.

Passo 4

Para aplicar a inclusão-exclusão, precisamos do número de inteiros divisíveis por ambos, ou seja, por \mathrm{mcm}(3,7)=21. O total de múltiplos de 21 até 1000 é
\left\lfloor \frac{1000}{21} \right\rfloor = 47.

Passo 5

Pelo princípio da inclusão-exclusão, a quantidade de inteiros divisíveis por 3 ou por 7 é
333 + 142 - 47 = 428.

Resposta

(a) 333
(b) 142
(c) 428

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