Você é selecionado aleatoriamente para fazer um exame de sangue para a gripe suína, que, para os propósitos deste exercício, diremos que está atualmente suspeitado de afetar 1 em cada 10 mil pessoas no Brasil. O teste é 99 \% exato, no sentido de que a probabilidade de um falso positivo é de 1 \%. A probabilidade de um falso negativo é praticamente nula. Você prova positivo. Qual é a nova probabilidade de você estar com gripe suína? Agora imagine que você foi recentemente ao casamento de um amigo no México, e (para os fins deste exercício) é sabido que 1 em cada 200 pessoas que visitaram o México recentemente regressam contaminados. Dado o mesmo resultado do teste mencionado, qual deve ser sua estimativa revisada para a probabilidade de você estar com a doença? Seja P(D) a probabilidade de você ter gripe suína. Seja P(T) a probabilidade de um teste positivo. Desejamos conhecer P(D \mid T).

Passo 1

O enunciado descreve um teste para detectar a gripe suína. Sabemos que a prevalência (probabilidade a priori de ter a doença) é de P(D)=1/10\,000 no Brasil. O teste tem sensibilidade quase perfeita (falso negativo praticamente nulo, logo P(T\mid D)=1) e especificidade de 99\% (portanto P(T\mid \lnot D)=1\%). Desejamos calcular a probabilidade a posteriori P(D\mid T) usando o Teorema de Bayes.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Bayes:
P(D\mid T) =\frac{P(T\mid D)\,P(D)}{P(T\mid D)\,P(D)+P(T\mid \lnot D)\,P(\lnot D)}.
Substituindo
P(D)=\frac{1}{10\,000},\quad P(\lnot D)=\frac{9\,999}{10\,000},\quad P(T\mid D)=1,\quad P(T\mid \lnot D)=0,01,
temos
P(D\mid T) =\frac{1\times\dfrac{1}{10\,000}}{1\times\dfrac{1}{10\,000}+0,01\times\dfrac{9\,999}{10\,000}} =\frac{1}{1+0,01\times9\,999} \approx0,0099,
ou seja, cerca de 0,99\%.

Passo 3

Agora suponha que você esteve recentemente no México, onde a prevalência para quem visita é P(D)=1/200 e P(\lnot D)=199/200. Mantendo P(T\mid D)=1 e P(T\mid \lnot D)=0,01, aplicamos novamente:
P(D\mid T) =\frac{1\times\dfrac{1}{200}}{1\times\dfrac{1}{200}+0,01\times\dfrac{199}{200}} =\frac{1}{1+0,01\times199} \approx0,334,
ou seja, cerca de 33,4\%.

Resposta

(a) A probabilidade de ter gripe suína dado um teste positivo no Brasil é aproximadamente 0,99\%.
(b) A probabilidade revisada após viagem ao México é aproximadamente 33,4\%.

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