Um negociante espera vender um automóvel até sexta-feira. A expectativa de que venda ocorra em cada dia da semana é a seguinte:
  • Segunda-feira: 50 \%(0,5)
  • Terça-feira: 30 \%(0,3)
  • Quarta-feira: 10 \%(0,1)
  • Quinta-feira: 5 \%(0,05)
  • Sexta-feira: 5 \%(0,05)
Se o lucro é de R \ 3.000,00 se vender na segunda0feira e diminui40 %$ a cada dia:
(a) Calcule o valor esperado de lucro deste negociante nesta venda;
(b) Calcule sua variância e seu desvio padrão.

Passo 1

O enunciado define um experimento em que o lucro L depende do dia em que o carro é vendido, de segunda a sexta, com probabilidades
p_1=0,5,\;p_2=0,3,\;p_3=0,1,\;p_4=0,05,\;p_5=0,05.
O lucro na segunda-feira é R$ 3000 e em cada dia subsequente ele diminui 40\%, ou seja, multiplica por 0,6. Vamos calcular (a) \mathbb{E}[L] e (b) \mathrm{Var}(L) e o desvio padrão \sigma_L.

Passo 2

Primeiro determinamos os valores de L em cada dia:
L_1 = 3000,\quad L_2 = 0,6\times 3000 = 1800,\quad L_3 = 0,6\times 1800 = 1080,
L_4 = 0,6\times1080 = 648,\quad L_5 = 0,6\times648 = 388{,}8.

Passo 3

Calculamos a esperança
\mathbb{E}[L] =\sum_{i=1}^{5}p_i\,L_i =0,5\cdot3000 + 0,3\cdot1800 + 0,1\cdot1080 + 0,05\cdot648 + 0,05\cdot388{,}8.
Fazendo as contas:
\mathbb{E}[L] =1500 + 540 + 108 + 32{,}4 +19{,}44 =2199{,}84.

Passo 4

Agora calculamos \mathbb{E}[L^2]:
L_1^2 = 3000^2 =9\,000\,000, \quad L_2^2 =1800^2 =3\,240\,000, \quad L_3^2 =1080^2 =1\,166\,400,
L_4^2 =648^2 =419\,904, \quad L_5^2 =388{,}8^2 =151\,165{,}44.
Logo
\mathbb{E}[L^2] =0,5\cdot9\,000\,000 + 0,3\cdot3\,240\,000 + 0,1\cdot1\,166\,400 +0,05\cdot419\,904 +0,05\cdot151\,165{,}44 =5\,617\,193{,}472.

Passo 5

A variância é
\mathrm{Var}(L) =\mathbb{E}[L^2] - \bigl(\mathbb{E}[L]\bigr)^2 =5\,617\,193{,}472 - (2199{,}84)^2.
Como (2199{,}84)^2\approx4\,839\,296{,}026, obtemos
\mathrm{Var}(L)\approx777\,897{,}4464.
O desvio padrão é
\sigma_L = \sqrt{\mathrm{Var}(L)} \approx \sqrt{777\,897{,}4464}\approx881{,}99.

Resposta

(a) \mathbb{E}[L]\approx2199{,}84.
(b) \mathrm{Var}(L)\approx777\,897{,}45 e \sigma_L\approx881{,}99.

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