Considere os números inteiros 600 e-140. Pede-se:
Através da Decomposição em Fatores Primos, determine o Mínimo Múltiplo Comum e o Máximo Divisor Comum entre esses números.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o Máximo Divisor Comum (MDC) e o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos inteiros 600 e 140 usando decomposição em fatores primos. Vamos precisar lembrar como fatorar um número em primos e depois aplicar as definições de MDC e MMC.

Passo 2

Vamos fatorar o número 600 em primos. Dividindo sucessivamente: 600 é par, extraímos fatores 2 até não ser mais par e, em seguida, extraímos 3 e 5:
600 = 2^3 cdot 3 cdot 5^2

Passo 3

Agora fatoramos o número 140 em primos. Repetimos o processo de divisão por 2, depois por 5 e por 7:
140 = 2^2 cdot 5 cdot 7

Passo 4

Para calcular o MDC, tomamos os fatores comuns aos dois números com o menor expoente em cada caso. Os fatores comuns são 2 e 5. Assim:
MDC(600,140) = 2^min(3,2) cdot 5^min(2,1) = 2^2 cdot 5 = 4 cdot 5 = 20

Passo 5

Para calcular o MMC, tomamos todos os fatores que aparecem em pelo menos um dos números com o maior expoente em cada caso. Os fatores são 2, 3, 5 e 7. Assim:
MMC(600,140) = 2^max(3,2) cdot 3^max(1,0) cdot 5^max(2,1) cdot 7^max(0,1) = 2^3 cdot 3 cdot 5^2 cdot 7 = 8 cdot 3 cdot 25 cdot 7 = 4200

Resposta

MDC(600,140) = 20 e MMC(600,140) = 4200

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