Considere os números inteiros positivos a, b, d e m, tais que a times b=m times d. Nestas condições, mostre que m é múltiplo comum de a e b se, e somente se, d é um divisor comum de a e b.

Passo 1

O enunciado fala de inteiros positivos a,b,d,m tais que
a times b ;=; m times d
Queremos provar a equivalência
l(amid m e bmid mr) Long<=ftrightarrow l(dmid a e dmid br)
O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade: quando um inteiro divide outro e como usar essas divisões em produtos.

Passo 2

Suponha que m seja múltiplo comum de a e b. Então existem inteiros positivos k e ell tais que
m = a,k e m = b,ell
Como ab = m,d, substituindo m=a,k obtemos
a,b = (a,k),d Longrightarrow b = k,d,
logo dmid b. De modo análogo, usando m=b,ell em ab=m,d vem
a,b = (b,ell),d Longrightarrow a = ell,d,
logo dmid a. Concluímos que d é divisor comum de a e b.

Passo 3

Agora suponha que d divide tanto a quanto b. Então existem inteiros positivos x e y tais que
a = d,x e b = d,y
Substituindo em ab = m,d
(d,x)(d,y) = m,d Longrightarrow d^2,x,y = m,d Longrightarrow m = d,x,y
Como a = d,x, temos
ma = d,x,yd,x = yinZ,
logo amid m. De modo análogo,
mb = d,x,yd,y = xinZ,
logo bmid m. Portanto m é múltiplo comum de a e b.

Resposta

Mostramos as duas implicações, logo m é múltiplo comum de a e b se, e somente se, d é divisor comum de a e b.

Exercícios relacionados