Considere os números inteiros positivos
e
, tais que
. Nestas condições, mostre que
é múltiplo comum de
e
se, e somente se,
é um divisor comum de
e
.
Passo 1
O enunciado fala de inteiros positivos
tais que
Queremos provar a equivalência
O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade: quando um inteiro divide outro e como usar essas divisões em produtos.
Passo 2
Suponha que
seja múltiplo comum de
e
. Então existem inteiros positivos
e
tais que
Como
, substituindo
obtemos
logo
. De modo análogo, usando
em
vem
logo
. Concluímos que
é divisor comum de
e
.
Passo 3
Agora suponha que
divide tanto
quanto
. Então existem inteiros positivos
e
tais que
Substituindo em
dá
Como
, temos
logo
. De modo análogo,
logo
. Portanto
é múltiplo comum de
e
.
Resposta
Mostramos as duas implicações, logo
é múltiplo comum de
e
se, e somente se,
é divisor comum de
e
.