Encontre a inclinação da esfera
na direção
nos pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede a inclinação da esfera definida por
na direção do eixo
em dois pontos. Isso equivale a achar a derivada parcial
quando a esfera é vista como a união das superfícies
Vamos usar a definição de derivada parcial para cada ramo.
Passo 2
Derivamos em termos gerais a função
Pela regra da cadeia,
Passo 3
Avaliaremos em
. Primeiro o valor do denominador:
Logo,
Passo 4
Para o ramo inferior,
, temos
Em
isso dá
Passo 5
Como o ponto
pertence ao ramo superior
e o ponto
ao ramo inferior
, as inclinações na direção
são as derivadas parciais calculadas em cada caso.
Resposta
Para
:
.
Para :
.
Para