Encontre a inclinação da esfera x^2+y^2+z^2=1 na direção y nos pontos (23, 13, 23) e (23, 13,-23).

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da esfera definida por x^2+y^2+z^2=1 na direção do eixo y em dois pontos. Isso equivale a achar a derivada parcial partial z/partial y quando a esfera é vista como a união das superfícies
z = f(x,y) = pmraiz1 - x^2 - y^2
Vamos usar a definição de derivada parcial para cada ramo.

Passo 2

Derivamos em termos gerais a função
f(x,y) = raiz1 - x^2 - y^2
Pela regra da cadeia,
partial fpartial y =12raiz1 - x^2 - y^2cdot(-2y) =-yraiz1 - x^2 - y^2

Passo 3

Avaliaremos em l(x,yr)=l(tfrac23,tfrac13r). Primeiro o valor do denominador:
raiz1 - l(tfrac23r)^2 - l(tfrac13r)^2 =raiz1 - tfrac49 - tfrac19 =raiztfrac49 =tfrac23
Logo,
partial fpartial yl(tfrac23,tfrac13r) =-tfrac13tfrac23 =-tfrac12

Passo 4

Para o ramo inferior, g(x,y)=-raiz1 - x^2 - y^2, temos
partial gpartial y =-partialpartial yl(raiz1 - x^2 - y^2r) =-l(-yraiz1 - x^2 - y^2r) =yraiz1 - x^2 - y^2
Em l(tfrac23,tfrac13r) isso dá
partial gpartial yl(tfrac23,tfrac13r) =tfrac13tfrac23 =tfrac12

Passo 5

Como o ponto l(tfrac23,tfrac13,tfrac23r) pertence ao ramo superior z=f(x,y) e o ponto l(tfrac23,tfrac13,-tfrac23r) ao ramo inferior z=g(x,y), as inclinações na direção y são as derivadas parciais calculadas em cada caso.

Resposta

Para l(tfrac23,tfrac13,tfrac23r): -tfrac12.
Para l(tfrac23,tfrac13,-tfrac23r): tfrac12.

Exercícios relacionados