Calcule as integrais trigonométricas:
integral0^pi / 2 cos ^2(x) sen(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral trigonométrica
integral0^pi/2cos^2(x),sen(2x),dx
O conteúdo envolvido é manipulação de identidades trigonométricas e mudança de variável (substituição).

Passo 2

Use a identidade
sen(2x)=2sen(x)cos(x),
para reescrever o integrando:
cos^2(x),sen(2x) =cos^2(x),l(2sen(x)cos(x)r) =2cos^3(x),sen(x)

Passo 3

Fazemos a substituição
u=cos(x), du=-sen(x),dx ;Longrightarrow; sen(x),dx=-du
Quando x=0, u=cos(0)=1.
Quando x=pi/2, u=cos(pi/2)=0.
Assim a integral torna-se
integral0^pi/22cos^3(x),sen(x),dx =2integralu=1^u=0u^3(-du) =-2integral1^0u^3,du

Passo 4

Invertemos os limites trocando o sinal:
-2integral1^0u^3,du =2integral0^1u^3,du =2[u^44]0^1 =2cdot14 =12

Resposta

integral0^pi/2cos^2(x),sen(2x),dx=tfrac12

Exercícios relacionados