Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
u=x y sin ^-1(y z)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
u(x,y,z)=x,y,sin^-1(y z)
O conteúdo envolvido é derivada parcial em funções de várias variáveis, usando a regra do produto e a regra da cadeia. Para resolver, lembramos que
ddtl(sin^-1(t)r)=1raiz1-t^2

Passo 2

Para partial upartial x tratamos y e z como constantes e diferenciamos somente x:
partial upartial x =partialpartial xl(x,y,sin^-1(y z)r) =y,sin^-1(y z)

Passo 3

Para partial upartial y aplicamos a regra do produto em y,sin^-1(y z), com x como constante:
partial upartial y =xpartialpartial yl(y,sin^-1(y z)r) =xl[sin^-1(y z)+ycdot1raiz1-(y z)^2cdot zr]
Logo,
partial upartial y =x,sin^-1(y z)+x,y,zraiz1-(y z)^2

Passo 4

Para partial upartial z tratamos x e y como constantes e derivamos sin^-1(y z) em z:
partial upartial z =x,ycdot1raiz1-(y z)^2cdot y =x,y^2raiz1-(y z)^2

Resposta

partial upartial x=y,sin^-1(y z)
partial upartial y =x,sin^-1(y z)+x,y,zraiz1-(y z)^2
partial upartial z =x,y^2raiz1-(y z)^2

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