Considere os números z_{1} = 2 + 3 i e z_{2} = 4 + 5 i. Mostrando os detalhes do que fizer, obtenha (na forma x+i y ):
\left(4 z_{1} + z_{2}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \bigl(4z_{1}+z_{2}\bigr)^{2} onde
z_{1}=2+3i, \quad z_{2}=4+5i.
O que vamos precisar é somar números complexos e depois usar a fórmula do quadrado de um binômio complexo.

Passo 2

Primeiro, calculamos 4z_{1}. Basta multiplicar cada parte real e imaginária por 4:
4z_{1}=4\cdot(2+3i)=8+12i.

Passo 3

Em seguida, somamos esse resultado a z_{2}:
4z_{1}+z_{2}=(8+12i)+(4+5i)=(8+4)+(12+5)i=12+17i.

Passo 4

Agora vamos elevar 12+17i ao quadrado. Para um número complexo a+bi, vale
(a+bi)^{2} = a^{2} +2ab\,i + b^{2}i^{2} = (a^{2}-b^{2}) + (2ab)\,i.
Aqui a=12 e b=17.

Passo 5

Aplicando essa fórmula:
(12+17i)^{2} =12^{2}-17^{2} + 2\cdot12\cdot17\,i =144 -289 +408i =-145 +408i.

Resposta

-145+408i

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