Considere os números z_{1} = 2 + 3 i e z_{2} = 4 + 5 i. Mostrando os detalhes do que fizer, obtenha (na forma x+i y ):
z_{1} / z_{2}, \overline{\left(z_{1} / z_{2}\right)}

Passo 1

O enunciado dá os números complexos \,z_{1}=2+3i e \,z_{2}=4+5i e pede o quociente \,z_{1}/z_{2} na forma x+i y e o conjugado desse quociente. Para dividir complexos, vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

Passo 2

O conjugado de \,z_{2} é \overline{z_{2}}=4-5i. Então
\frac{z_{1}}{z_{2}} =\frac{(2+3i)(4-5i)}{(4+5i)(4-5i)}.

Passo 3

Calculando o numerador e o denominador separadamente:
(2+3i)(4-5i) =2\cdot4 +2\cdot(-5i)+3i\cdot4+3i\cdot(-5i) =8-10i+12i-15(i^{2}) =8+2i-15(-1) =23+2i,
(4+5i)(4-5i) =4^{2}-(5i)^{2} =16-25(i^{2}) =16-25(-1) =41.

Passo 4

Logo
\frac{z_{1}}{z_{2}} =\frac{23+2i}{41} =\frac{23}{41}+\frac{2}{41}\,i.

Passo 5

O conjugado de \,z_{1}/z_{2} é obtido trocando o sinal da parte imaginária:
\overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)} =\frac{23}{41}-\frac{2}{41}\,i.

Resposta

\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{23}{41}+\frac{2}{41}i \displaystyle \overline{\bigl(\tfrac{z_{1}}{z_{2}}\bigr)}=\frac{23}{41}-\frac{2}{41}i

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