Considere um objeto que é arremessado verticalmente para cima com velocidade inicial
em um meio linear. (a) Medindo
para cima a partir do ponto do arremesso, escreva expressões para a velocidade
e posição
do objeto. (b) Determine o tempo para que o objeto atinja o seu ponto máximo e a sua posição
nesse ponto. (c) Mostre que, à medida que o coeficiente de arrasto se aproxima de zero, sua última resposta reduz-se ao resultado bem conhecido
para um objeto no vácuo. [Sugestão: se a força de arrasto for muito pequena, a velocidade terminal será muito grande e, assim,
será muito pequena. Use a série de Taylor para a função logaritmo para aproximar
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) expressões para a velocidade
e posição
de um objeto arremessado verticalmente para cima, medindo
para cima a partir do ponto de arremesso, quando existe um arrasto linear; (b) o tempo até o ponto máximo e a posição
nesse ponto; (c) mostrar que, quando o coeficiente de arrasto vai para zero, o resultado para
reduz-se a
.\n\nInformações e convenções que usaremos (tudo fornecido ou natural do enunciado):\n\n- A velocidade inicial é
(para cima, logo
em geral).\n- Medimos
para cima a partir do ponto de arremesso, logo
.\n- A aceleração da gravidade é
(aponta para baixo;
).\n- Introduzimos
como a massa do objeto (não fornecida no enunciado, mas necessária para escrever as equações) e
como o coeficiente de arrasto linear, de modo que a força de arrasto é proporcional à velocidade e age contrária ao movimento. Ou seja, a força de arrasto é
quando
é positiva.\n- Condições iniciais:
e
.\n\nNada do enunciado contradiz essas escolhas; elas são a base para montar as equações do movimento. A partir daqui resolvemos passo a passo o problema.
Passo 2
Montar a equação do movimento e resolver para
.\n\nForça total na direção vertical (tomando para cima sentido positivo): peso para baixo é
e arrasto para baixo (quando
) é
. Pela segunda lei de Newton:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para facilitar, escrevemos com a constante
ficando
Método: fator integrante. O fator integrante é
. Multiplicando ambos os lados:
o que é
Integramos em
:
Isolando
e usando a condição inicial
para achar
:
Agora substituímos
e definimos a velocidade terminal em módulo
Portanto a solução fica:
Explicação física curta: o termo exponencial é a contribuição da condição inicial que se apaga com o tempo, e
é o equilíbrio (velocidade terminal para baixo).
Passo 3
Integrar para obter
com
.\n\nSabemos que
. Usando a expressão encontrada:
Integramos termo a termo. Seja
. Então
e
Somando e usando
e
, obtemos
Podemos escrever de forma alternativa substituindo
e usando
, mas a forma acima é direta e prática.
Passo 4
Determinar o tempo para atingir o ponto máximo (quando a velocidade vertical se anula).\n\nO ponto máximo ocorre quando
. Da expressão de
:
Isolando o exponencial:
Aplicando logaritmo:
Portanto
Isto faz sentido: quanto maior o arrasto
(maior
), menor o tempo até parar de subir.
Passo 5
Calcular
e simplificar.\n\nUsamos a forma de
do Passo 3 e a relação
. Primeiro, observe:
Então o primeiro termo de
vira
Logo
Substituindo
obtemos
Substituindo
ou usando
(pois
), podemos também escrever:
Uma forma igualmente elegante é
que destaca a dependência em termos da razão
.
Passo 6
Mostrar que quando o coeficiente de arrasto tende a zero a expressão reduz-se a
.\n\nQuando
temos
. Então a razão
é pequena (
). Para
pequeno usamos a expansão de Taylor do logaritmo:
Substituímos em uma das formas de
, por exemplo
com
. Avaliando o termo dentro do parêntese:
Mas
, então os dois primeiros termos se cancelam:
restando
Substituindo
dá
Agora multiplicamos por
:
Portanto, no limite
(ou
):
que é exatamente o resultado bem conhecido para ausência de arrasto.
Resposta
(a)
.
(a) .
(b) .
(b) .
(c) .
(a)
(b)
(b)
(c)