Considere um objeto que é arremessado verticalmente para cima com velocidade inicial v_{y 0} em um meio linear. (a) Medindo y para cima a partir do ponto do arremesso, escreva expressões para a velocidade v_{y}(t) e posição y(t) do objeto. (b) Determine o tempo para que o objeto atinja o seu ponto máximo e a sua posição y_{\text {máx }}á nesse ponto. (c) Mostre que, à medida que o coeficiente de arrasto se aproxima de zero, sua última resposta reduz-se ao resultado bem conhecido y_{\text {máx }}=\frac{v_{y 0}^{2}}{2 g}á para um objeto no vácuo. [Sugestão: se a força de arrasto for muito pequena, a velocidade terminal será muito grande e, assim, v_{y 0} / v_{\text {ter }} será muito pequena. Use a série de Taylor para a função logaritmo para aproximar \ln (1+x).

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) expressões para a velocidade v_{y}(t) e posição y(t) de um objeto arremessado verticalmente para cima, medindo y para cima a partir do ponto de arremesso, quando existe um arrasto linear; (b) o tempo até o ponto máximo e a posição y_{\text{máx}}á nesse ponto; (c) mostrar que, quando o coeficiente de arrasto vai para zero, o resultado para y_{\text{máx}}á reduz-se a y_{\text{máx}}=\dfrac{v_{y0}^{2}}{2g}á.\n\nInformações e convenções que usaremos (tudo fornecido ou natural do enunciado):\n\n- A velocidade inicial é \,v_{y0}\, (para cima, logo \,v_{y0}>0 em geral).\n- Medimos y para cima a partir do ponto de arremesso, logo y(0)=0.\n- A aceleração da gravidade é g (aponta para baixo; g>0).\n- Introduzimos m como a massa do objeto (não fornecida no enunciado, mas necessária para escrever as equações) e b como o coeficiente de arrasto linear, de modo que a força de arrasto é proporcional à velocidade e age contrária ao movimento. Ou seja, a força de arrasto é -b v_{y} quando v_{y} é positiva.\n- Condições iniciais: \,v_{y}(0)=v_{y0} e \,y(0)=0.\n\nNada do enunciado contradiz essas escolhas; elas são a base para montar as equações do movimento. A partir daqui resolvemos passo a passo o problema.

Passo 2

Montar a equação do movimento e resolver para v_{y}(t).\n\nForça total na direção vertical (tomando para cima sentido positivo): peso para baixo é -mg e arrasto para baixo (quando v_{y}>0) é -b v_{y}. Pela segunda lei de Newton:
m\frac{dv_{y}}{dt} = -mg - b v_{y}.
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para facilitar, escrevemos com a constante
k=\frac{b}{m},
ficando
\frac{dv_{y}}{dt} + k v_{y} = -g.
Método: fator integrante. O fator integrante é e^{k t}. Multiplicando ambos os lados:
e^{kt}\frac{dv_{y}}{dt} + k e^{kt} v_{y} = -g e^{kt}
o que é
\frac{d}{dt}\big( v_{y} e^{kt} \big) = -g e^{kt}.
Integramos em t:
v_{y} e^{kt} = -g \int e^{kt} dt + C = -g \frac{1}{k} e^{kt} + C.
Isolando v_{y} e usando a condição inicial v_{y}(0)=v_{y0} para achar C:
v_{y} = -\frac{g}{k} + C e^{-kt},\quad v_{y}(0)= -\frac{g}{k} + C = v_{y0}\Rightarrow C = v_{y0} + \frac{g}{k}.
Agora substituímos k=b/m e definimos a velocidade terminal em módulo
v_{\text{t}}=\frac{mg}{b}=\frac{g}{k}\quad(\text{note que o terminal para o movimento para baixo é }-v_{\text{t}}).é
Portanto a solução fica:
\boxed{\,v_{y}(t) = \big(v_{y0}+v_{\text{t}}\big)e^{-\,\frac{b}{m}t} - v_{\text{t}}\,.}
Explicação física curta: o termo exponencial é a contribuição da condição inicial que se apaga com o tempo, e -v_{\text{t}} é o equilíbrio (velocidade terminal para baixo).

Passo 3

Integrar para obter y(t) com y(0)=0.\n\nSabemos que y(t)=\int_{0}^{t} v_{y}(s)\,ds. Usando a expressão encontrada:
y(t)=\int_{0}^{t} \left[ \big(v_{y0}+v_{\text{t}}\big)e^{-\,\frac{b}{m}s} - v_{\text{t}} \right] ds.
Integramos termo a termo. Seja k=\dfrac{b}{m}. Então
\int_{0}^{t} \big(v_{y0}+v_{\text{t}}\big)e^{-k s}\,ds = \big(v_{y0}+v_{\text{t}}\big)\left[\frac{-1}{k}e^{-k s}\right]_{0}^{t} = \frac{v_{y0}+v_{\text{t}}}{k}\big(1-e^{-k t}\big),
e
\int_{0}^{t} (-v_{\text{t}})\,ds = -v_{\text{t}} t.
Somando e usando k=b/m e m/b = 1/k, obtemos
\boxed{\,y(t)=\frac{v_{y0}+v_{\text{t}}}{k}\big(1-e^{-k t}\big) - v_{\text{t}}\,t \,.}
Podemos escrever de forma alternativa substituindo k=b/m e usando m/b=v_{\text{t}}/g, mas a forma acima é direta e prática.

Passo 4

Determinar o tempo para atingir o ponto máximo (quando a velocidade vertical se anula).\n\nO ponto máximo ocorre quando v_{y}(t_{\text{máx}})=0á. Da expressão de v_{y}(t):
0 = \big(v_{y0}+v_{\text{t}}\big)e^{-k t_{\text{máx}}} - v_{\text{t}}.á
Isolando o exponencial:
e^{-k t_{\text{máx}}} = \frac{v_{\text{t}}}{v_{y0}+v_{\text{t}}} = \frac{1}{1+\dfrac{v_{y0}}{v_{\text{t}}}}.á
Aplicando logaritmo:
- k t_{\text{máx}} = \ln\!\left(\frac{v_{\text{t}}}{v_{y0}+v_{\text{t}}}\right) = -\ln\!\left(1+\frac{v_{y0}}{v_{\text{t}}}\right).á
Portanto
\boxed{\,t_{\text{máx}} = \frac{1}{k}\ln\!\left(1+\frac{v_{y0}}{v_{\text{t}}}\right) = \frac{m}{b}\ln\!\left(1+\frac{v_{y0}}{v_{\text{t}}}\right)\, .}á
Isto faz sentido: quanto maior o arrasto b (maior k), menor o tempo até parar de subir.

Passo 5

Calcular y_{\text{máx}} = y(t_{\text{máx}})áá e simplificar.\n\nUsamos a forma de y(t) do Passo 3 e a relação e^{-k t_{\text{máx}}}=\dfrac{v_{\text{t}}}{v_{y0}+v_{\text{t}}}á. Primeiro, observe:
1-e^{-k t_{\text{máx}}} = 1 - \frac{v_{\text{t}}}{v_{y0}+v_{\text{t}}} = \frac{v_{y0}}{v_{y0}+v_{\text{t}}}.á
Então o primeiro termo de y(t_{\text{máx}})á vira
\frac{v_{y0}+v_{\text{t}}}{k}\cdot\frac{v_{y0}}{v_{y0}+v_{\text{t}}} = \frac{v_{y0}}{k}.
Logo
y_{\text{máx}} = \frac{v_{y0}}{k} - v_{\text{t}} t_{\text{máx}}.áá
Substituindo t_{\text{máx}}=\dfrac{1}{k}\ln\!\left(1+\dfrac{v_{y0}}{v_{\text{t}}}\right)á obtemos
y_{\text{máx}} = \frac{v_{y0}}{k} - v_{\text{t}}\cdot\frac{1}{k}\ln\!\left(1+\frac{v_{y0}}{v_{\text{t}}}\right) = \frac{1}{k}\Big( v_{y0} - v_{\text{t}}\ln\!\big(1+\tfrac{v_{y0}}{v_{\text{t}}}\big)\Big).á
Substituindo k=b/m ou usando m/b = v_{\text{t}}/g (pois v_{\text{t}}=mg/b), podemos também escrever:
\boxed{\,y_{\text{máx}} = \frac{m}{b}\Big( v_{y0} - v_{\text{t}}\ln\!\big(1+\tfrac{v_{y0}}{v_{\text{t}}}\big)\Big) = \frac{v_{\text{t}}}{g}\Big( v_{y0} - v_{\text{t}}\ln\!\big(1+\tfrac{v_{y0}}{v_{\text{t}}}\big)\Big)\, .}á
Uma forma igualmente elegante é
\boxed{\,y_{\text{máx}} = \frac{v_{\text{t}}^{2}}{g}\left(\frac{v_{y0}}{v_{\text{t}}} - \ln\!\Big(1+\frac{v_{y0}}{v_{\text{t}}}\Big)\right)\, ,}á
que destaca a dependência em termos da razão v_{y0}/v_{\text{t}}.

Passo 6

Mostrar que quando o coeficiente de arrasto tende a zero a expressão reduz-se a y_{\text{máx}}=\dfrac{v_{y0}^{2}}{2g}á.\n\nQuando b\to 0 temos v_{\text{t}}=\dfrac{mg}{b}\to\infty. Então a razão
x:=\frac{v_{y0}}{v_{\text{t}}}
é pequena ( x\to 0). Para x pequeno usamos a expansão de Taylor do logaritmo:
\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+O(x^{3}).
Substituímos em uma das formas de y_{\text{máx}}á, por exemplo
y_{\text{máx}} = \frac{v_{\text{t}}}{g}\Big( v_{y0} - v_{\text{t}}\ln(1+x)\Big),á
com x=v_{y0}/v_{\text{t}}. Avaliando o termo dentro do parêntese:
v_{y0} - v_{\text{t}}\big(x - \tfrac{x^{2}}{2} + O(x^{3})\big) = v_{y0} - v_{\text{t}}x + \frac{v_{\text{t}}x^{2}}{2} + O(v_{\text{t}}x^{3}).
Mas v_{\text{t}}x = v_{y0}, então os dois primeiros termos se cancelam:
v_{y0} - v_{\text{t}}x = 0,
restando
v_{y0} - v_{\text{t}}\ln(1+x) = \frac{v_{\text{t}}x^{2}}{2} + O(v_{\text{t}}x^{3}).
Substituindo x=v_{y0}/v_{\text{t}}
\frac{v_{\text{t}}x^{2}}{2} = \frac{v_{\text{t}}}{2}\left(\frac{v_{y0}^{2}}{v_{\text{t}}^{2}}\right)=\frac{v_{y0}^{2}}{2v_{\text{t}}}.
Agora multiplicamos por v_{\text{t}}/g:
y_{\text{máx}} = \frac{v_{\text{t}}}{g}\cdot\frac{v_{y0}^{2}}{2v_{\text{t}}} + \text{termos menores} = \frac{v_{y0}^{2}}{2g} + \text{termos que tendem a }0.á
Portanto, no limite b\to 0 (ou v_{\text{t}}\to\infty):
\boxed{\,\lim_{b\to 0} y_{\text{máx}} = \frac{v_{y0}^{2}}{2g}\, ,}á
que é exatamente o resultado bem conhecido para ausência de arrasto.

Resposta

(a) v_{y}(t) = \big(v_{y0}+v_{\text{t}}\big)e^{-\,\frac{b}{m}t} - v_{\text{t}}.
(a) y(t)=\dfrac{v_{y0}+v_{\text{t}}}{\,b/m\,}\big(1-e^{-\,\frac{b}{m}t}\big) - v_{\text{t}}\,t.
(b) t_{\text{máx}}=\dfrac{m}{b}\ln\!\big(1+\dfrac{v_{y0}}{v_{\text{t}}}\big)á.
(b) y_{\text{máx}}=\dfrac{m}{b}\Big( v_{y0} - v_{\text{t}}\ln\!\big(1+\dfrac{v_{y0}}{v_{\text{t}}}\big)\Big)á.
(c) \displaystyle\lim_{b\to 0}y_{\text{máx}}=\frac{v_{y0}^{2}}{2g}á.

Exercícios relacionados