Considere um objeto de massa
na superfície da Terra, de massa
e raio
. A energia potencial gravitacional (tomando o zero no infinito) é dada por
onde
é a constante gravitacional universal.
(a) Usando a conservação da energia mecânica, deduza a expressão da velocidade de escape
necessária para que o objeto, lançado da superfície da Terra sem atrito, atinja o infinito com velocidade final nula.
(b) Mostre que a expressão obtida pode ser escrita como
(c) Usando os valores numéricos aproximados
calcule o valor aproximado de
.
(d) Comente o significado físico da velocidade de escape e compare, qualitativamente, esse valor com velocidades típicas de satélites em órbita baixa da Terra.
(a) Usando a conservação da energia mecânica, deduza a expressão da velocidade de escape
(b) Mostre que a expressão obtida pode ser escrita como
(d) Comente o significado físico da velocidade de escape e compare, qualitativamente, esse valor com velocidades típicas de satélites em órbita baixa da Terra.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado dá a energia potencial gravitacional (com zero no infinito):
onde
é a constante gravitacional universal,
é a massa da Terra,
é a massa do objeto e
é a distância do centro da Terra.
- A situação é: o objeto é lançado da superfície da Terra (ou seja, em
, onde é o raio da Terra), sem atrito, e queremos que ele atinja o infinito com velocidade final nula. - Perguntas:
(a) Usando conservação da energia mecânica, deduzir a expressão da velocidade de escape.
(b) Mostrar que essa expressão pode ser escrita como.
(c) Calcular numericamenteem usando os valores (d) Explicar fisicamente o significado da velocidade de escape e comparar qualitativamente com velocidades típicas de satélites em órbita baixa.
Passo 2
Conservação da energia mecânica (sem atrito) diz que a energia mecânica total inicial é igual à energia mecânica total final:
Aqui a energia mecânica total é a soma da energia cinética
e da energia potencial
. Para um objeto de massa
com velocidade
,
A energia potencial gravitacional é dada no enunciado por
. Vou explicitar cada termo:
-
: massa do objeto (cancela mais adiante). -
: massa da Terra. -
: raio da Terra (ponto de lançamento, ). -
: constante gravitacional universal. -
: velocidade do objeto na superfície (é o que queremos achar: ).
Passo 3
Escrever as energias nos dois pontos (inicial: na superfície; final: no infinito).
- Energia inicial (em
): energia cinética inicial mais energia potencial gravitacional em :
Observação: o sinal negativo vem de
.
- Energia final (em
): por escolha do zero de referência, . Queremos que a velocidade final seja nula, então . Assim
Aplicando conservação da energia:
Passo 4
Resolver a equação anterior para
. Primeiro isolar o termo cinético:
Como
aparece em ambos os lados, divide-se por
(portanto a velocidade de escape é independente da massa do objeto):
Multiplicando ambos os lados por
e extraindo raiz quadrada:
Isso responde (a) e (b): obtivemos explicitamente a expressão pedida.
Passo 5
Agora calcular numericamente usando os valores fornecidos. Vou fazer as contas passo a passo, mantendo notação científica para não confundir.
Calcular primeiro o produto
:
Fazendo
:
Portanto
Agora calcular
:
Dividindo as mantissas e subtraindo expoentes:
logo
Agora a raiz quadrada:
Convertendo para
:
Arredondando com duas casas significativas relevantes:
Passo 6
Interpretação física e comparação com velocidades de satélites em órbita baixa.
-
Significado físico: a velocidade de escape é a velocidade mínima que um objeto, lançado da superfície (ignorando resistência do ar), precisa ter para que a energia cinética inicial compense exatamente a energia potencial gravitacional negativa e assim permita que o objeto vá até infinito com velocidade final nula. Em outras palavras, com essa velocidade o objeto chega ao infinito com energia total zero; qualquer velocidade maior dá energia positiva no infinito (o objeto escapará com velocidade residual), qualquer velocidade menor não é suficiente e o objeto será ligado gravitacionalmente à Terra (vai retornar ou ficar em órbita).
-
Observação importante: essa velocidade é calculada sem considerar a resistência do ar e assumindo que se aplica toda a velocidade radialmente para “subir” contra o poço gravitacional. Na prática, para lançar coisas ao espaço também é preciso vencer a atmosfera e considerar a trajetória e o tipo de motor.
-
Comparação qualitativa com satélites em órbita baixa (LEO): satélites em órbita baixa têm velocidades típicas cerca de
a (por exemplo ~ ). Esse valor é significativamente menor que . Por isso: - Uma velocidade orbital baixa (tangencial) de
mantém um satélite em órbita circular ao invés de escapar. - Para escapar partindo de uma órbita baixa, seria necessário um Δv adicional (diferença de velocidade) da ordem de alguns
(aproximadamente a diferença entre e km/s, ignorando perdas) para passar de órbita ligada a trajetória de escape.
- Uma velocidade orbital baixa (tangencial) de
Terminando com um incentivo: sei que é muita conta, mas essa dedução é padrão e muito útil — memorizando a forma
e o valor aproximado
já resolve muitas questões de prova.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) A velocidade de escape é a velocidade mínima (ignorando atrito) necessária para que um objeto vença o poço gravitacional da Terra e atinja o infinito com energia total nula. Esse valor (
) é maior que a velocidade típica de satélites em órbita baixa (
), por isso órbita baixa não significa escape.