Considere um objeto sujeito a uma força F1 dada por F1=(y, 4 x^2). Calcule o trabalho dessa força do ponto r=(0,0) até o ponto r=(1,1) nos seguintes caminhos:
y=x^3

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do trabalho da força F1=(y,4x^2) ao longo da curva que vai de (0,0) até (1,1) sujeita à condição y=x^3. O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial não conservativo, e vamos precisar parametrizar a curva, escrever F1 em função do parâmetro e calcular o produto escalar com a derivada da parametrização.

Passo 2

Parametrizamos a curva y=x^3 por
r(t) = (x(t),y(t)) = (t,,t^3), tin[0,1]
Então
r'(t) = (x'(t),y'(t)) = l(1,,3t^2r)

Passo 3

O trabalho é dado por
W=integralCF1cdot dr =integral0^1F1(r(t))cdot r'(t),dt
Em r(t) temos y=t^3 e x=t, logo
F1(r(t)) =l(t^3,,4t^2r),
e o produto escalar é
F1(r(t))cdot r'(t) = t^3cdot1 + 4t^2cdot 3t^2 = t^3 + 12t^4

Passo 4

Calculamos a integral
W = integral0^1l(t^3+12t^4r),dt = integral0^1t^3,dt + 12integral0^1t^4,dt = l[tfrac14t^4r]0^1 + 12l[tfrac15t^5r]0^1 = tfrac14 + tfrac125 = tfrac14 + tfrac125
Somando as frações com denominação comum 20,
tfrac14 = tfrac520, tfrac125 = tfrac4820,
logo
W = tfrac520 + tfrac4820 = tfrac5320

Resposta

O trabalho da força ao longo de y=x^3 de (0,0) a (1,1) é
W = tfrac5320

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