Uma bolinha move-se no plano e a sua posição ( r em metros) em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial r(t)=(t,-t^3 / 4+t^2). Calcule:
a) A velocidade e a aceleração da bolinha em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=1 s e t=2 s.
c) O instante de tempo em que a bolinha alcança a altura máxima ( t do y max ) para t>0.
d) A altura máxima alcançada ( y max ).
e) O instante de tempo em que a bolinha bate no solo (solo quer dizer y=0 ) e em que posição isso acontece.

Passo 1

O enunciado dá a trajetória de uma bolinha no plano por
r(t) = l(t,;-,tfract^34 + t^2r)
e pede:
a) velocidade e aceleração vetoriais;
b) velocidade média e aceleração média de t=1 a t=2;
c) instante de altura máxima;
d) valor dessa altura máxima;
e) instante e posição em que atinge o solo ( y=0).
Vamos usar derivação de funções vetoriais, definição de média e técnicas de otimização e de resolução de equações.

Passo 2

Para obter a velocidade v(t) a gente deriva cada componente de r(t). A derivada de x(t)=t é 1 e a de y(t)=-tfract^34+t^2 é
y'(t) = -tfrac3,t^24 + 2,t
Logo
v(t) = l(x'(t),,y'(t)r) = l(1,;-tfrac3,t^24 + 2,tr)

Passo 3

Para a aceleração a(t) a gente deriva v(t). A derivada de 1 é 0 e a de -tfrac3,t^24+2t é
y''(t) = -tfrac3,t2 + 2
Logo
a(t) = l(0,;-tfrac3,t2 + 2r)

Passo 4

A velocidade média entre t1=1 e t2=2 é
barv =r(2)-r(1)2-1
Calculando r(2)=(2,, -tfrac84+4)=(2,2) e r(1)=(1,, -tfrac14+1)=(1,tfrac34), vem
barv = l(2-1,;2-tfrac34r) = l(1,;tfrac54r)
A aceleração média é
bara =v(2)-v(1)2-1
Como v(2)=(1,,1) e v(1)=(1,,tfrac54), obtemos
bara = l(0,;1-tfrac54r) = l(0,;-tfrac14r)

Passo 5

A altura y(t) atinge máximo quando sua derivada zera, isto é, y'(t)=0. Temos
-tfrac3,t^24 + 2,t = tl(-tfrac3,t4+2r)=0
com raízes t=0 e -tfrac3,t4+2=0Rightarrow t=tfrac83. Para t>0 o instante de altura máxima é
tmax = tfrac83,s

Passo 6

Calculamos ymax = yl(tfrac83r).
yl(tfrac83r) =-14l(tfrac83r)^3 + l(tfrac83r)^2 =-512108 + 649 =-12827 + 19227 =6427

Passo 7

Para achar quando bate no solo, resolvemos y(t)=0:
-tfract^34 + t^2 = t^2l(-tfract4+1r)=0
As raízes são t=0 e -tfract4+1=0Rightarrow t=4. Desprezando t=0, o impacto dá-se em
timpacto = 4,s
A posição é r(4) = l(4,,0r).

Resposta

a) v(t) = l(1,,-tfrac3,t^24 + 2,tr),
a(t) = l(0,,-tfrac3,t2 + 2r).
b) barv = l(1,tfrac54r),
bara = l(0,-tfrac14r).
c) tmax = tfrac83,s.
d) ymax = tfrac6427,m.
e) timpacto = 4,s em r(4) = (4,0).

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