Uma bolinha move-se no plano e a sua posição (
em metros) em função do tempo (
em segundos) é descrita pela função vetorial
. Calcule:
a) A velocidade e a aceleração da bolinha em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes
s e
.
c) O instante de tempo em que a bolinha alcança a altura máxima (
do
) para
.
d) A altura máxima alcançada (
).
e) O instante de tempo em que a bolinha bate no solo (solo quer dizer
) e em que posição isso acontece.
a) A velocidade e a aceleração da bolinha em função do tempo.
b) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes
c) O instante de tempo em que a bolinha alcança a altura máxima (
d) A altura máxima alcançada (
e) O instante de tempo em que a bolinha bate no solo (solo quer dizer
Passo 1
O enunciado dá a trajetória de uma bolinha no plano por
e pede:
a) velocidade e aceleração vetoriais;
b) velocidade média e aceleração média de a
;
c) instante de altura máxima;
d) valor dessa altura máxima;
e) instante e posição em que atinge o solo ( ).
Vamos usar derivação de funções vetoriais, definição de média e técnicas de otimização e de resolução de equações.
a) velocidade e aceleração vetoriais;
b) velocidade média e aceleração média de
c) instante de altura máxima;
d) valor dessa altura máxima;
e) instante e posição em que atinge o solo (
Vamos usar derivação de funções vetoriais, definição de média e técnicas de otimização e de resolução de equações.
Passo 2
Para obter a velocidade
a gente deriva cada componente de
. A derivada de
é
e a de
é
Logo
Passo 3
Para a aceleração
a gente deriva
. A derivada de
é
e a de
é
Logo
Passo 4
A velocidade média entre
e
é
Calculando
e
, vem
A aceleração média é
Como
e
, obtemos
Passo 5
A altura
atinge máximo quando sua derivada zera, isto é,
. Temos
com raízes
e
. Para
o instante de altura máxima é
Passo 6
Calculamos
.
Passo 7
Para achar quando bate no solo, resolvemos
:
As raízes são
e
. Desprezando
, o impacto dá-se em
A posição é
.
Resposta
a)
,
.
b) ,
.
c) .
d) .
e) em
.
b)
c)
d)
e)