Considere um objeto sujeito a uma força F1 dada por F1=(2 y, x^2). Calcule o trabalho dessa força do ponto r=(0,0) até o ponto r=(1,1) nos seguintes caminhos:
y=x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho da força F1=(2y,,x^2) ao longo do caminho que vai de r=(0,0) até r=(1,1) seguindo a curva y=x^2. O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial, para o qual vamos parametrizar a curva e usar
W=integralCFcdot dr

Passo 2

Parametrizamos a curva por
r(t)=(x(t),y(t))=(t,,t^2), tin[0,1]

Passo 3

Calculamos o diferencial de arco
dr=(dx,,dy)=(dt,,2t,dt)
e avaliamos F1 na parametrização:
F1(r(t))=(2y,,x^2)=(2t^2,,t^2)

Passo 4

Formamos o produto escalar F1(r(t))cdot dr e integramos:
F1cdot dr =2t^2,dt + t^2,(2t,dt) =2t^2,dt + 2t^3,dt =2t^2(1+t),dt
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W=integral0^12t^2(1+t),dt

Passo 5

Calculamos a integral:
integral0^12t^2(1+t),dt =2integral0^1(t^2+t^3),dt =2l[tfract^33+tfract^44r]0^1 =2l(tfrac13+tfrac14r) =2cdottfrac712 =tfrac76

Resposta

tfrac76

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