Um objeto é forçado a se mover ao longo do eixo x de tal forma que o deslocamento é dado por x(t)=30+20 t-15 t^2 onde x é dado em m e t em s. (a) Encontre a expressão para a velocidade v(t) e a aceleração a(t). A aceleração é constante? (b) Qual é a posição inicial e a velocidade inicial do objeto? (c) Em que tempo e distância da origem a velocidade é zero? (d) Em que tempo e local a velocidade é -50 m / s ?

Resposta:

(a) v(t)=(20-30 t) m / s ; a=-30 m / s^2, aceleração constante. (b) x0=30 m, v0=20 m / s. (c) t=23 s, x=36,7 m. (d) t=73 s, x=-5,0 m.

Passo 1

O enunciado nos dá o deslocamento ao longo de x em função do tempo:
x(t)=30+20,t-15,t^2,
com x em metros e t em segundos. O conteúdo é cinemática unidimensional com velocidade e aceleração obtidas por derivadas. Para resolver vamos:
  1. derivar x(t) para obter v(t),
  2. derivar v(t) para obter a(t),
  3. avaliar em t=0 para as condições iniciais,
  4. resolver v(t)=0 e v(t)=-50 para os tempos e posições correspondentes.

Passo 2

Para obter a velocidade derivamos x(t) em relação a t:
v(t)=dxdt =ddtl(30+20,t-15,t^2r) =20-30,t
Derivando novamente, a aceleração é
a(t)=dvdt =ddtl(20-30,tr) =-30
Como a(t) é número fixo, a aceleração é constante.

Passo 3

A posição inicial e a velocidade inicial correspondem a t=0:
x(0)=30+20cdot0-15cdot0^2=30 m,
v(0)=20-30cdot0=20 m/s

Passo 4

Para achar o tempo em que a velocidade é zero, resolvemos
20-30,t=0 Longrightarrow t=2030=23 s
A posição nesse instante é
xl(tfrac23r) =30+20cdot23-15cdotl(23r)^2 =1103,mapprox36,7 m

Passo 5

Para achar quando v(t)=-50 m/s, resolvemos
20-30,t=-50 Longrightarrow -30,t=-70 Longrightarrow t=7030=73 s
A posição nesse instante é
xl(tfrac73r) =30+20cdot73-15cdotl(73r)^2 =-5,0 m

Resposta

(a) v(t)=20-30,t m/s, a(t)=-30 m/s^2, aceleração constante.
(b) x0=30 m, v0=20 m/s
(c) t=tfrac23 s, x=tfrac1103 mapprox36,7 m
(d) t=tfrac73 s, x=-5,0 m

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