Considere um objeto sujeito a uma força F1 dada por F1=(4 y, x^2). Calcule o trabalho dessa força do ponto r=(0,0) até o ponto r=(1,1) nos seguintes caminhos:
y=x^4

Passo 1

O enunciado dá o campo de força
F1(x,y) = l(4y,;x^2r)
e pede o trabalho
W=integralCF1cdot dr
ao longo do caminho C de ,(0,0) até (1,1) definido por y=x^4.
O conteúdo necessário é integral de linha de um campo vetorial: parametrizamos C, expressamos F1 e dr em termos do parâmetro e calculamos integral F1cdot dr.

Passo 2

Parametrizamos C por
x(t)=t, y(t)=t^4, tin[0,1]
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dx = dt, dy = 4t^3,dt,
e
dr = (dx,dy) = l(1,,4t^3r),dt

Passo 3

Em função de t, o campo valendo sobre C é
F1(t) = l(4,y(t),,x(t)^2r) = l(4t^4,,t^2r),
portanto o produto escalar é
F1(t)cdot drdt = l(4t^4,,t^2r)cdot l(1,,4t^3r) =4t^4 + 4t^5
O trabalho fica
W = integral0^1l(4t^4 + 4t^5r),dt

Passo 4

Calculamos a integral:
integral0^14t^4,dt =4cdot15=45, integral0^14t^5,dt =4cdot16=23,
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W = 45 + 23 = 12+1015 = 2215

Resposta

W = 2215

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