Considere um objeto sujeito a uma força F1 dada por F1=(y, x^3). Calcule o trabalho dessa força do ponto r=(0,0) até o ponto r=(1,1) nos seguintes caminhos:
y=x

Passo 1

O enunciado pede o trabalho da força F1=(y,x^3) ao mover um ponto de (0,0) até (1,1) seguindo o caminho y=x. O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial num plano, em que usamos a fórmula
W=integralCFcdot dr =integralCl(P,dx+Q,dyr),
onde P(x,y)=y e Q(x,y)=x^3.

Passo 2

Parametrizamos o caminho y=x por
r(t)=(x(t),y(t))=(t,t), tin[0,1]
Então
dx=dt, dy=dt

Passo 3

Substituindo na integral de linha, temos
W =integral0^1l[Pl(x(t),y(t)r),dx +Ql(x(t),y(t)r),dyr] =integral0^1l(tcdot dt + t^3cdot dtr) =integral0^1l(t + t^3r),dt

Passo 4

Calculamos a integral:
integral0^1l(t + t^3r),dt =[t^22+t^44]0^1 =12+14 =34

Resposta

O trabalho da força F1 ao longo de y=x de (0,0) a (1,1) é tfrac34.

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