Considere um objeto sujeito a uma força F1 dada por F1=(y, x^3). Calcule o trabalho dessa força do ponto r=(0,0) até o ponto r=(1,1) nos seguintes caminhos:
y=x^3

Passo 1

O enunciado pede o trabalho da força F1=(y,x^3) ao mover um corpo de r=(0,0) até r=(1,1) ao longo do caminho definido por y=x^3. O conteúdo envolvido é integral de linha de um campo vetorial e vamos precisar parametrizar a curva, calcular dr, o produto escalar F1cdotdr e, por fim, integrar.

Passo 2

Parametrizamos a curva por um parâmetro tin[0,1]. Como x=t e y=t^3, definimos
r(t) = (t,;t^3), 0<= t<=1
Então
drdt = l(1,;3t^2r),
logo dr=(1,3t^2),dt.

Passo 3

Substituímos no campo:
F1(r(t)) = l(y,;x^3r)|(t,t^3) = l(t^3,;t^3r)
O produto escalar é
F1(r(t))cdotdrdt = l(t^3,,t^3r)cdotl(1,,3t^2r) = t^3 + 3t^5

Passo 4

O trabalho é
W = integralCF1cdotdr = integral0^1l(t^3+3t^5r),dt
Calculando a integral:
integral0^1t^3,dt = tfrac14, integral0^13t^5,dt = 3cdottfrac16=tfrac12,
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W = tfrac14 + tfrac12 = tfrac34

Resposta

O trabalho da força ao longo de y=x^3 de (0,0) a (1,1) é tfrac34.

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